Consideremos os pontos e . Determine as coordenadas de um vetor , paralelo ao vetor , de modo que |v|=raiz3.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois pontos no espaço: e . A missão aqui é encontrar as coordenadas de um vetor que seja paralelo ao vetor que vai de até () e que tenha módulo igual a . Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, cálculo de vetores paralelos e como normalizar um vetor para ajustar seu tamanho.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor PM = M - P = (1 - 0, -2 - (-1), -2 - 2) = (1, -1, -4) . Para isso, subtraímos as coordenadas de das de :
Passo 3
Agora que temos v = k cdot PM = k cdot (1, -1, -4) = (k, -k, -4k) , sabemos que precisa ser paralelo a esse vetor. Vetores paralelos são múltiplos uns dos outros, então podemos escrever:
Onde é uma constante que vamos determinar para ajustar o módulo do vetor.
Passo 4
Queremos que o módulo de |v| = raiza^2 + b^2 + c^2 seja |v| = raizk^2 + (-k)^2 + (-4k)^2 = raizk^2 + k^2 + 16k^2 = raiz18k^2 = raiz18 cdot |k| = 3raiz2 cdot |k| . O módulo de um vetor é dado por:
Aplicando isso ao nosso vetor :
Passo 5
Queremos que 3raiz2 cdot |k| = raiz3 , então temos: