Consideremos os pontos M=(1,-2,-2) e P=(0,-1,2). Determine as coordenadas de um vetor v, paralelo ao vetor P M, de modo que |v|=raiz3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois pontos no espaço: e . A missão aqui é encontrar as coordenadas de um vetor que seja paralelo ao vetor que vai de até ( ) e que tenha módulo igual a . Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, cálculo de vetores paralelos e como normalizar um vetor para ajustar seu tamanho.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor PM = M - P = (1 - 0, -2 - (-1), -2 - 2) = (1, -1, -4) . Para isso, subtraímos as coordenadas de das de :

Passo 3

Agora que temos v = k cdot PM = k cdot (1, -1, -4) = (k, -k, -4k) , sabemos que precisa ser paralelo a esse vetor. Vetores paralelos são múltiplos uns dos outros, então podemos escrever:
Onde é uma constante que vamos determinar para ajustar o módulo do vetor.

Passo 4

Queremos que o módulo de |v| = raiza^2 + b^2 + c^2 seja |v| = raizk^2 + (-k)^2 + (-4k)^2 = raizk^2 + k^2 + 16k^2 = raiz18k^2 = raiz18 cdot |k| = 3raiz2 cdot |k| . O módulo de um vetor é dado por:
Aplicando isso ao nosso vetor :

Passo 5

Queremos que 3raiz2 cdot |k| = raiz3 , então temos:
|k| = raiz33raiz2 = raiz33raiz2 cdot raiz2raiz2 = raiz66
Para encontrar , dividimos ambos os lados por :
Então, .

Passo 6

Agora, podemos escrever as coordenadas do vetor v = ( raiz66, -raiz66, -4 cdot raiz66 ) = ( raiz66, -raiz66, -2raiz63 ) usando os valores de v = ( -raiz66, raiz66, 2raiz63 ) :
Para :
Para :

Resposta

As coordenadas do vetor v = ( raiz66, -raiz66, -2raiz63 ) ou v = ( -raiz66, raiz66, 2raiz63 ) podem ser:

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