Determine, colocando a matriz ata a
duzida, se o sistema homogêneo tem soluções não triviais e dêtema linear na forma escalonada

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos deu um sistema de equações homogêneo e pediu para colocarmos a matriz aumentada desse sistema em forma escalonada. Além disso, queremos saber se esse sistema tem soluções não triviais (ou seja, além da solução trivial onde todas as variáveis são zero). Para resolver isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, como matriz, sistema de equações lineares e forma escalonada. Vamos precisar aplicar operações elementares nas linhas da matriz para chegar na forma desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema. Como o sistema é homogêneo (todas as equações são iguais a zero), a matriz aumentada será apenas a matriz dos coeficientes. Assim, temos:

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em forma escalonada. Isso significa que queremos que, abaixo da diagonal principal, todos os elementos sejam zeros. Vamos começar pelo primeiro pivô, que é o elemento na posição (1,1).

Passo 4

Vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô. Para isso, faremos as seguintes operações nas linhas:
  • Linha 3: Subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 3.
  • Linha 4: Adicionar 2 vezes a Linha 1 à Linha 4.
Vamos fazer isso:
Para a Linha 3:
Para a Linha 4:
A matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos para o segundo pivô, que está na posição (2,2) com o valor . Precisamos zerar os elementos abaixo desse pivô na segunda coluna.
Primeiro, vamos zerar o elemento na posição (3,2):
  • Linha 3: Subtrair vezes a Linha 2 da Linha 3.
E zerar o elemento na posição (4,2):
  • Linha 4: Subtrair vezes a Linha 2 da Linha 4.
Fazendo as operações:
Para a Linha 3:
Para a Linha 4:
A matriz agora fica:

Passo 6

Finalmente, vamos tratar do terceiro pivô, que está na posição (3,4) com o valor . Precisamos zerar o elemento abaixo dele na quarta coluna.
  • Linha 4: Adicionar 10 vezes a Linha 3 à Linha 4.
Fazendo a operação:
A matriz final em forma escalonada fica:

Resposta

Após colocar a matriz aumentada em forma escalonada, verificamos que há pelo menos uma variável livre (já que a quarta linha resultou em ). Portanto, o sistema homogêneo possui soluções não triviais.
A matriz escalonada é:

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