Considere um triângulo cujos vértices são (3,1),(5,-2) e (6,3).
Ache também a área do triângulo encontrando sua altura.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com vértices nas coordenadas (3,1), (5,-2) e (6,3). O que a gente precisa fazer é encontrar a área desse triângulo usando a fórmula que envolve a base e a altura. Para isso, vamos precisar calcular o comprimento da base e depois descobrir a altura perpendicular a essa base.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher qual lado do triângulo vai ser a nossa base. Vou escolher o lado que vai de (3,1) a (5,-2). Para achar o comprimento dessa base, usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Substituindo os pontos:
d = raiz(5 - 3)^2 + (-2 - 1)^2 = raiz2^2 + (-3)^2 = raiz4 + 9 = raiz13
Então, a base mede raiz13 unidades.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a altura do triângulo relativa a essa base. Para isso, precisamos achar a distância do terceiro ponto (6,3) à reta formada pelos pontos (3,1) e (5,-2). A fórmula para a distância de um ponto (x0, y0) a uma reta Ax + By + C = 0 é:
d = |Ax0 + By0 + C|raizA^2 + B^2
Primeiro, vamos achar a equação da reta que passa por (3,1) e (5,-2). A inclinação da reta é:
m = -2 - 15 - 3 = -32
Então, a equação da reta na forma geral fica:
-32x + y + C = 0
Para encontrar C, substituímos um dos pontos, por exemplo, (3,1):
-32(3) + 1 + C = 0 Rightarrow -92 + 1 + C = 0 Rightarrow C = 72
Portanto, a equação da reta é:
-32x + y + 72 = 0
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
-3x + 2y + 7 = 0
Agora, aplicando a fórmula da distância para o ponto (6,3):
d = |-3(6) + 2(3) + 7|raiz(-3)^2 + 2^2 = |-18 + 6 + 7|raiz9 + 4 = |-5|raiz13 = 5raiz13
Então, a altura é 5raiz13 unidades.

Resposta

A área do triângulo é 12 times raiz13 times 5raiz13 = 52 unidades quadradas.

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Se u=(2,-1,2) e v=(1,2,-2), encontre escalares a, b tais que w=a u+b v e w cdot v=0.
Encontre v cdot u, sendo:
a=(2,-1,5) e b=(0,-4,-3)
Considere um triângulo cujos vértices são (3,1),(5,-2) e (6,3).
Ache os três ângulos internos do triângulo.