Considere um triângulo cujos vértices são (3,1),(5,-2) e (6,3).
Ache os três ângulos internos do triângulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria! A gente tem um triângulo com os vértices nas coordenadas (3,1), (5,-2) e (6,3). Nosso objetivo aqui é encontrar os três ângulos internos desse triângulo. Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas importantes de geometria analítica, como a fórmula da distância para encontrar os lados do triângulo e a Lei dos Cossenos para calcular os ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os comprimentos dos lados do triângulo usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano. A fórmula é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Vamos chamar os pontos de A(3,1), B(5,-2) e C(6,3).
Calculando o lado AB:
AB = raiz(5 - 3)^2 + (-2 - 1)^2 = raiz2^2 + (-3)^2 = raiz4 + 9 = raiz13 approx 3,61
Calculando o lado BC:
BC = raiz(6 - 5)^2 + (3 - (-2))^2 = raiz1^2 + 5^2 = raiz1 + 25 = raiz26 approx 5,10
Calculando o lado AC:
AC = raiz(6 - 3)^2 + (3 - 1)^2 = raiz3^2 + 2^2 = raiz9 + 4 = raiz13 approx 3,61
Agora temos os comprimentos dos lados:
  • AB approx 3,61
  • BC approx 5,10
  • AC approx 3,61

Passo 3

Observando os lados, percebemos que AB e AC têm o mesmo comprimento, o que indica que o triângulo é isósceles, com os lados iguais sendo AB e AC. Agora, vamos usar a Lei dos Cossenos para encontrar os ângulos.
A Lei dos Cossenos é dada por:
c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(C)
Onde C é o ângulo oposto ao lado c. Vamos reorganizar a fórmula para encontrar o ângulo:
cos(C) = a^2 + b^2 - c^22ab

Passo 4

Vamos calcular o ângulo em B, que está oposto ao lado AC.
Usando os valores:
  • a = AB approx 3,61
  • b = BC approx 5,10
  • c = AC approx 3,61
Aplicando na fórmula:
cos(B) = 3,61^2 + 5,10^2 - 3,61^22 times 3,61 times 5,10 = 13 + 26 - 1336,82 = 2636,82 approx 0,706
Agora, para encontrar o ângulo B, tiramos o arco cosseno de 0,706:
B approx cos^-1(0,706) approx 45°

Passo 5

Agora, vamos calcular o ângulo em A, oposto ao lado BC.
Usando os valores:
  • a = AB approx 3,61
  • b = AC approx 3,61
  • c = BC approx 5,10
Aplicando na fórmula:
cos(A) = 3,61^2 + 3,61^2 - 5,10^22 times 3,61 times 3,61 = 13 + 13 - 2626,04 = 026,04 = 0
O arco cosseno de 0 é 90°, então:
A approx 90°

Passo 6

Por fim, para encontrar o ângulo em C, usamos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Já achamos A approx 90° e B approx 45°, então:
C = 180° - 90° - 45° = 45°

Resposta

Os três ângulos internos do triângulo são aproximadamente:
  • Ângulo A approx 90°
  • Ângulo B approx 45°
  • Ângulo C approx 45°

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