Se u=(2,-1,2) e v=(1,2,-2), encontre escalares a, b tais que w=a u+b v e w cdot v=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, u = (2, -1, 2) e v = (1, 2, -2). A missão é encontrar dois números, a e b, que vão combinar esses vetores de uma maneira específica: formar um novo vetor w = au + bv que, além disso, precisa ser perpendicular ao vetor v.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a combinação linear de vetores e o produto escalar (ou produto interno). O que precisamos é montar um sistema de equações que atenda às condições dadas e resolvê-lo para encontrar a e b.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o vetor w em termos de a e b. Como w = au + bv, fazemos a combinação linear:
w = a(2, -1, 2) + b(1, 2, -2) = (2a + b, -a + 2b, 2a - 2b)

Passo 3

Agora, a condição que w deve satisfazer é que ela seja perpendicular a v. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. Portanto, temos:
w cdot v = 0

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar w cdot v. Lembrando que o produto escalar de dois vetores (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) é dado por:
w cdot v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
Aplicando isso aos nossos vetores:
w cdot v = (2a + b)(1) + (-a + 2b)(2) + (2a - 2b)(-2)

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
w cdot v &= (2a + b) cdot 1 + (-a + 2b) cdot 2 + (2a - 2b) cdot (-2) &= 2a + b - 2a + 4b -4a + 4b &= (2a - 2a -4a) + (b + 4b +4b) &= -4a + 9b
Então, temos:
-4a + 9b = 0

Passo 6

Essa é a nossa primeira equação. Mas, temos duas incógnitas ( a e b) e precisamos de outra equação para resolver o sistema. Para isso, vamos considerar que precisamos expressar w como uma combinação linear de u e v, mas sem informações adicionais, podemos assumir uma relação entre a e b.
Entretanto, como temos uma única equação para duas incógnitas, podemos expressar uma variável em termos da outra. Vamos resolver a equação -4a + 9b = 0 para uma das variáveis, por exemplo, a em termos de b:
-4a + 9b = 0 Rightarrow 4a = 9b Rightarrow a = 94b

Passo 7

Agora, podemos definir o valor de b de nossa escolha e encontrar o correspondente a. Por conveniência, vamos escolher b = 4 (um número que simplifica os cálculos):
a = 94 times 4 = 9

Resposta

Portanto, os escalares que satisfazem as condições do problema são a = 9 e b = 4. Assim, o vetor w é dado por:
w = 9u + 4v = 9(2, -1, 2) + 4(1, 2, -2) = (18 + 4, -9 + 8, 18 - 8) = (22, -1, 10)

Exercícios relacionados

Nos problemas de 34 a 39 , obter equações paramétricas da elipse de equação dada.
49(x+7)^2+y^2=7
Se u=(3,4,1), v=(2,3,2) e w= (4,2,3) encontre
u times v
(b) (1,0 ponto) Mostre que w=(-raiz22, raiz22) é um vetor unitário na direção do vetor v.
Considere um triângulo cujos vértices são (3,1),(5,-2) e (6,3).
Ache também a área do triângulo encontrando sua altura.