Se
e
, encontre escalares
tais que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores,
e
. A missão é encontrar dois números,
e
, que vão combinar esses vetores de uma maneira específica: formar um novo vetor
que, além disso, precisa ser perpendicular ao vetor
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a combinação linear de vetores e o produto escalar (ou produto interno). O que precisamos é montar um sistema de equações que atenda às condições dadas e resolvê-lo para encontrar
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o vetor
em termos de
e
. Como
, fazemos a combinação linear:
Passo 3
Agora, a condição que
deve satisfazer é que ela seja perpendicular a
. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. Portanto, temos:
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
. Lembrando que o produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Então, temos:
Passo 6
Essa é a nossa primeira equação. Mas, temos duas incógnitas (
e
) e precisamos de outra equação para resolver o sistema. Para isso, vamos considerar que precisamos expressar
como uma combinação linear de
e
, mas sem informações adicionais, podemos assumir uma relação entre
e
.
Entretanto, como temos uma única equação para duas incógnitas, podemos expressar uma variável em termos da outra. Vamos resolver a equação
para uma das variáveis, por exemplo,
em termos de
:
Passo 7
Agora, podemos definir o valor de
de nossa escolha e encontrar o correspondente
. Por conveniência, vamos escolher
(um número que simplifica os cálculos):
Resposta
Portanto, os escalares que satisfazem as condições do problema são
e
. Assim, o vetor
é dado por:
Exercícios relacionados
Nos problemas de 34 a 39 , obter equações paramétricas da elipse de equação dada.
Se
e
encontre
(b) (1,0 ponto) Mostre que
é um vetor unitário na direção do vetor
.
Considere um triângulo cujos vértices são
e
.
Ache também a área do triângulo encontrando sua altura.
Ache também a área do triângulo encontrando sua altura.