Dados vetores a, b e c tais que a+b+ c=0 com |a|=3,|b|=5 e |c|=7. Calcule o ângulo entre a e b.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores, a, b e c, que somados dão zero: a + b + c = 0. Também sabemos os comprimentos desses vetores: |a| = 3, |b| = 5 e |c| = 7. O objetivo é encontrar o ângulo entre os vetores a e b. Para isso, vamos precisar usar a álgebra vetorial, especificamente o produto escalar (também conhecido como produto interno).

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação que nos foi dada: a + b + c = 0. Podemos isolar um dos vetores, por exemplo, c:
c = -(a + b)
Isso significa que o vetor c é igual ao negativo da soma de a e b.

Passo 3

Agora, vamos calcular o quadrado do comprimento do vetor c. Sabemos que:
|c|^2 = c cdot c
Substituindo c por -(a + b), temos:
|c|^2 = [ -(a + b) ] cdot [ -(a + b) ]
Como o produto escalar tem a propriedade de que (-v) cdot (-w) = v cdot w, isso simplifica para:
|c|^2 = (a + b) cdot (a + b)

Passo 4

Vamos expandir o produto escalar:
(a + b) cdot (a + b) = a cdot a + 2 a cdot b + b cdot b
Sabemos que v cdot v = |v|^2, então:
|c|^2 = |a|^2 + 2 a cdot b + |b|^2

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
7^2 = 3^2 + 2 a cdot b + 5^2
Calculando os quadrados:
49 = 9 + 2 a cdot b + 25
Simplificando:
49 = 34 + 2 a cdot b

Passo 6

Vamos isolar o produto escalar a cdot b:
49 - 34 = 2 a cdot b
15 = 2 a cdot b
a cdot b = 152 = 7,5

Passo 7

Lembrando que o produto escalar também pode ser expresso em termos dos comprimentos dos vetores e do cosseno do ângulo entre eles:
a cdot b = |a| |b| cos theta
Substituindo os valores que temos:
7,5 = 3 times 5 times cos theta
7,5 = 15 cos theta

Passo 8

Agora, vamos resolver para cos theta:
cos theta = 7,515 = 0,5
Para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno (também conhecida como cos^-1):
theta = cos^-1(0,5)

Resposta

O ângulo entre os vetores a e b é 60^circ.

Exercícios relacionados

Considere um triângulo cujos vértices são (3,1),(5,-2) e (6,3).
Ache os três ângulos internos do triângulo.
Encontre v cdot u, sendo:
a=(2,-1,5) e b=(0,-4,-3)
Calcule o produto vetorial entre
3 i+3 j e 5 i+4 j
Se u=(3,4,1), v=(2,3,2) e w= (4,2,3) encontre
u cdot v