Dados vetores
e
tais que
com
e
. Calcule o ângulo entre
e b.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores,
,
e
, que somados dão zero:
. Também sabemos os comprimentos desses vetores:
,
e
. O objetivo é encontrar o ângulo entre os vetores
e
. Para isso, vamos precisar usar a álgebra vetorial, especificamente o produto escalar (também conhecido como produto interno).
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação que nos foi dada:
. Podemos isolar um dos vetores, por exemplo,
:
Isso significa que o vetor
é igual ao negativo da soma de
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o quadrado do comprimento do vetor
. Sabemos que:
Substituindo
por
, temos:
Como o produto escalar tem a propriedade de que
, isso simplifica para:
Passo 4
Vamos expandir o produto escalar:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Calculando os quadrados:
Simplificando:
Passo 6
Vamos isolar o produto escalar
:
Passo 7
Lembrando que o produto escalar também pode ser expresso em termos dos comprimentos dos vetores e do cosseno do ângulo entre eles:
Substituindo os valores que temos:
Passo 8
Agora, vamos resolver para
:
Para encontrar o ângulo
, usamos a função arco cosseno (também conhecida como
):
Resposta
O ângulo entre os vetores
e
é
.
Exercícios relacionados
Considere um triângulo cujos vértices são
e
.
Ache os três ângulos internos do triângulo.
Ache os três ângulos internos do triângulo.
Encontre
, sendo:
e
Calcule o produto vetorial entre
e
Se
e
encontre