Considere o triângulo formado pelos pontos A=(2,1,1), B=(3,1,1) e C=(4,3,2). E seja D um ponto no lado A C do triângulo tal que o segmento B D seja perpendicular ao lado A C. Qual o comprimento do segmento C D ?
Escollha uma opção:
a. 23
b. 73
c. 53
d. 3
e. 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo formado pelos pontos , e . Queremos encontrar o comprimento do segmento , onde está no lado e o segmento é perpendicular a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a representação vetorial do lado AC = C - A = (4-2, 3-1, 2-1) = (2, 2, 1) . Calculamos a diferença entre D = A + t cdot AC = (2 + 2t, 1 + 2t, 1 + t) e :
Isso significa que qualquer ponto no lado pode ser escrito como:
onde é um parâmetro entre 0 e 1.

Passo 3

Agora, vamos achar o vetor BD = D - B = (2 + 2t - 3, 1 + 2t - 1, 1 + t - 1) = (-1 + 2t, 2t, t) . Subtraímos as coordenadas de BD cdot AC = (-1 + 2t) cdot 2 + (2t) cdot 2 + t cdot 1 = 0 das de -2 + 4t + 4t + t = -2 + 9t = 0 :
9t = 2 implies t = 29
Para que seja perpendicular a , o produto escalar entre e deve ser zero:
Calculando isso:
Resolvendo para :

Passo 4

Com o valor de D = (2 + 2 cdot 29, 1 + 2 cdot 29, 1 + 29) = (229, 139, 119) , podemos encontrar as coordenadas de |AC| = raiz2^2 + 2^2 + 1^2 = raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3 :
CD = 79 cdot 3 = 73
Agora, queremos o comprimento de . Sabemos que tem comprimento:
Como representa a fração do caminho de até , a fração restante de até é . Então:

Resposta

A alternativa correta é a b. .

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Escolla uma opção:
a. pm 1
b. pm 2
c. pm raiz2
d. pm raiz3
e. pm raiz5
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a. x=3 e x=-12
b. x=-3 e x=-6
c. x=9 e x=-18
d. x=-1 e x=3
e. x=-6 e x=0
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Sendo V=R^3 e dado um conjunto de elementos de V, beta=(1,1,-1) ;(0,1,1) ;(1,0,-2).
Verifique se o conjunto é L.I. ou L.D.
Sendo V=P2 e dado um conjunto de elementos de V, 1+x-x^2 ; 1+x+x^2 ; 1-2 x^2.
O conjunto beta é uma base de V ? E de W ? Justifique.