Para quais valores de k, os pontos A=(1,0,4), B=(-2, k^2-2,-3), C=(0,0,2) e D=(-1,-2,-2) se tornam coplanares, isto é, pertencem ao mesmo plano?
Escolla uma opção:
a. pm 1
b. pm 2
c. pm raiz2
d. pm raiz3
e. pm raiz5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta tá pedindo para descobrir para quais valores de os pontos , , e estão todos no mesmo plano. Isso está relacionado à geometria no espaço, mais especificamente ao conceito de coplanaridade de pontos. Para resolver isso, vamos utilizar vetores e determinar se os vetores formados por esses pontos são linearmente dependentes, ou seja, se eles estão no mesmo plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quatro pontos no espaço são coplanares se o determinante formado por três vetores que partem de um ponto comum for igual a zero. Vamos escolher o ponto como referência e formar três vetores: , e .

Passo 3

Vamos calcular as coordenadas desses vetores:
AB = B - A = (-2 - 1,, (k^2 - 2) - 0,, -3 - 4) = (-3,, k^2 - 2,, -7)
AC = C - A = (0 - 1,, 0 - 0,, 2 - 4) = (-1,, 0,, -2)
AD = D - A = (-1 - 1,, -2 - 0,, -2 - 4) = (-2,, -2,, -6)

Passo 4

Agora, para verificar a coplanaridade, calculamos o determinante da matriz formada por esses três vetores:
-3 & k^2 - 2 & -7 -1 & 0 & -2 -2 & -2 & -6 = 0

Passo 5

Calculando esse determinante:
-3 cdot (0 cdot (-6) - (-2) cdot (-2)) - (k^2 - 2) cdot (-1 cdot (-6) - (-2) cdot (-2)) + (-7) cdot (-1 cdot (-2) - 0 cdot (-2)) = 0
Simplificando:
-3 cdot (0 - 4) - (k^2 - 2) cdot (6 - 4) + (-7) cdot (2 - 0) = 0
-3 cdot (-4) - (k^2 - 2) cdot 2 -7 cdot 2 = 0
12 - 2k^2 + 4 -14 = 0
(12 + 4 -14) -2k^2 = 0
2 -2k^2 = 0

Passo 6

Resolvendo para -2k^2 = -2 :
k^2 = 1
k = pm 1

Resposta

A)

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