Considere os vetores u=(1,-3,1), v=(2,-3,0) e w=(1, x, 2). Quais os possíveis valores de x para que o dobro do volume do paralelepípedo formado pelos vetores dados seja 30 ?
a. x=3 e x=-12
b. x=-3 e x=-6
c. x=9 e x=-18
d. x=-1 e x=3
e. x=-6 e x=0
f. x=2 e x=9

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos três vetores no espaço tridimensional: u=(1,-3,1), v=(2,-3,0) e w=(1, x, 2). Queremos encontrar os valores de x que fazem com que o dobro do volume do paralelepípedo formado por esses vetores seja igual a 30.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto misto que ajuda a calcular o volume do paralelepípedo formado por três vetores.

Passo 2

O volume de um paralelepípedo formado por três vetores u, v e w é dado pelo produto misto desses vetores, que pode ser calculado usando o determinante da matriz formada por eles. A fórmula do volume V é:
V = |u cdot (v times w)|
Aqui, v times w representa o produto vetorial entre v e w, e u cdot (v times w) é o produto escalar entre u e o resultado do produto vetorial.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial v times w:
v times w = i & j & k 2 & -3 & 0 1 & x & 2
Calculando o determinante:
v times w = i((-3)(2) - (0)(x)) - j((2)(2) - (0)(1)) + k((2)(x) - (-3)(1)) = i(-6) - j(4) + k(2x + 3) = (-6, -4, 2x + 3)

Passo 4

Agora, calculamos o produto escalar u cdot (v times w):
u cdot (v times w) = (1)(-6) + (-3)(-4) + (1)(2x + 3) = -6 + 12 + 2x + 3 = 9 + 2x
Então, o volume V é:
V = |9 + 2x|

Passo 5

Queremos que o dobro desse volume seja igual a 30:
2V = 30 2|9 + 2x| = 30 |9 + 2x| = 15
Isso nos dá duas equações:
  1. 9 + 2x = 15
  2. 9 + 2x = -15
Resolvendo a primeira:
2x = 15 - 9 2x = 6 x = 3
Resolvendo a segunda:
2x = -15 - 9 2x = -24 x = -12

Resposta

Os possíveis valores de x são x=3 e x=-12.
Alternativa a. x=3 e x=-12

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