Considere os vetores e . Quais os possíveis valores de para que o dobro do volume do paralelepípedo formado pelos vetores dados seja 30 ?
a. e
b. e
c. e
d. e
e. e
f. e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos três vetores no espaço tridimensional: , e . Queremos encontrar os valores de que fazem com que o dobro do volume do paralelepípedo formado por esses vetores seja igual a 30.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto misto que ajuda a calcular o volume do paralelepípedo formado por três vetores.
Passo 2
O volume de um paralelepípedo formado por três vetores , e é dado pelo produto misto desses vetores, que pode ser calculado usando o determinante da matriz formada por eles. A fórmula do volume é:
Aqui, representa o produto vetorial entre e , e é o produto escalar entre e o resultado do produto vetorial.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
v times w = i((-3)(2) - (0)(x)) - j((2)(2) - (0)(1)) + k((2)(x) - (-3)(1)) = i(-6) - j(4) + k(2x + 3) = (-6, -4, 2x + 3)
Passo 4
Agora, calculamos o produto escalar u cdot (v times w):
u cdot (v times w) = (1)(-6) + (-3)(-4) + (1)(2x + 3) = -6 + 12 + 2x + 3 = 9 + 2x
Então, o volume V é:
V = |9 + 2x|
Passo 5
Queremos que o dobro desse volume seja igual a 30: