Sendo V=P2 e dado um conjunto de elementos de V, 1+x-x^2 ; 1+x+x^2 ; 1-2 x^2.
O conjunto beta é uma base de V ? E de W ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o conjunto , que é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 2. A gente tem um conjunto de três elementos: . A pergunta é: esse conjunto forma uma base de ? E também de ? Vamos descobrir!

Passo 2

Primeiro, para saber se é uma base de , precisamos verificar duas coisas:
  1. Linearmente independente: Não tem como expressar um dos polinômios usando os outros.
  2. Geração de : Qualquer polinômio de grau até 2 pode ser formado usando combinações lineares dos elementos de .

Passo 3

Vamos verificar a independência linear. A gente coloca uma combinação linear igual a zero:
a(1 + x - x^2) + b(1 + x + x^2) + c(1 - 2x^2) = 0
Expandindo isso:
(a + b + c) + (a + b)x + (-a + b - 2c)x^2 = 0
Para que isso seja zero para todo a + b + c = 0 a + b = 0 -a + b - 2c = 0 , os coeficientes devem ser iguais a zero:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema:
  • Da segunda equação:
  • Substituindo na primeira equação:
  • Agora, sabendo que , da segunda equação:
  • Substituindo na terceira equação:
  • Então, também.
A única solução é , o que mostra que os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Agora, como tem dimensão 3 e temos 3 vetores linearmente independentes, isso significa que gera todo o espaço . Portanto, é uma base de .

Passo 6

Sobre , como não foi especificado no enunciado original, não temos informações para determinar se é uma base de . Precisaríamos saber o que é para poder responder.

Resposta

O conjunto é uma base de . Não temos informações suficientes sobre para determinar se é uma base de .

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