Sendo e dado um conjunto de elementos de , .
O conjunto é uma base de ? E de ? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o conjunto , que é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 2. A gente tem um conjunto de três elementos: . A pergunta é: esse conjunto forma uma base de ? E também de ? Vamos descobrir!
Passo 2
Primeiro, para saber se é uma base de , precisamos verificar duas coisas:
Linearmente independente: Não tem como expressar um dos polinômios usando os outros.
Geração de : Qualquer polinômio de grau até 2 pode ser formado usando combinações lineares dos elementos de .
Passo 3
Vamos verificar a independência linear. A gente coloca uma combinação linear igual a zero:
Expandindo isso:
Para que isso seja zero para todo , os coeficientes devem ser iguais a zero:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, sabendo que , da segunda equação:
Substituindo na terceira equação:
Então, também.
A única solução é , o que mostra que os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Agora, como tem dimensão 3 e temos 3 vetores linearmente independentes, isso significa que gera todo o espaço . Portanto, é uma base de .
Passo 6
Sobre , como não foi especificado no enunciado original, não temos informações para determinar se é uma base de . Precisaríamos saber o que é para poder responder.
Resposta
O conjunto é uma base de . Não temos informações suficientes sobre para determinar se é uma base de .