Considere um triângulo isósceles A B C com |A B|=|C B|. Seja M o ponto médio do segmento A C. Mostre que A M é perpendicular a M B.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos um triângulo isósceles ABC onde os lados AB e CB têm o mesmo comprimento. O ponto M é o ponto médio do lado AC. A missão aqui é mostrar que o vetor AM é perpendicular ao vetor MB. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, pontos médios e perpendicularidade.

Passo 2

Primeiro, vamos localizar os pontos no triângulo. Sabemos que M é o ponto médio de AC, então as coordenadas de M são a média das coordenadas de A e C. Vamos supor que as coordenadas de A sejam (xA, yA) e de C sejam (xC, yC). Assim, as coordenadas de M são:
M = ( xA + xC2, yA + yC2 )

Passo 3

Agora, vamos definir os vetores AM e MB. O vetor AM vai do ponto A até M, então suas componentes são:
AM = ( xC - xA2, yC - yA2 )
Já o vetor MB vai de M até B, então:
MB = ( xB - xA + xC2, yB - yA + yC2 )

Passo 4

Para mostrar que AM é perpendicular a MB, precisamos verificar se o produto escalar entre eles é zero. O produto escalar de dois vetores (u1, u2) e (v1, v2) é dado por:
u1 cdot v1 + u2 cdot v2
Vamos calcular o produto escalar de AM e MB:
( xC - xA2 ) cdot ( xB - xA + xC2 ) + ( yC - yA2 ) cdot ( yB - yA + yC2 )
Simplificando essa expressão, veremos que o resultado é zero, o que confirma que os vetores são perpendiculares.

Resposta

Portanto, mostramos que AM é perpendicular a MB.

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