Utilize o produto misto para mostrar que: llbracket ccc a1+a1^prime & a2+a2^prime & a3+a^prime b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 ]=llbracket ccc a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 ]+llbracket ccc a1^prime & a2^prime & a^prime 3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o produto misto para provar uma igualdade envolvendo determinantes. O produto misto está relacionado ao cálculo de volumes e envolve determinantes de matrizes 3x3. Vamos precisar lembrar que o determinante é linear em cada linha, ou seja, se uma linha é a soma de dois vetores, o determinante pode ser separado em duas partes.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o determinante da matriz que tem a primeira linha como a soma de dois vetores:
Aqui, a primeira linha é llbracket ccc a1+a1^prime & a2+a2^prime & a3+a^prime3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 ] .

Passo 3

Como o determinante é linear na primeira linha, podemos separar essa soma em dois determinantes:
Isso acontece porque podemos distribuir o determinante sobre a soma dos vetores na primeira linha.

Passo 4

Então, juntando tudo, mostramos que:
$$
\llbracket llbracket ccc a1+a1^prime & a2+a2^prime & a3+a^prime3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 ] = llbracket ccc a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 ] + llbracket ccc a1^prime & a2^prime & a^prime3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 ] \right]

\llbracket \right]
+
\llbracket \right]
$$

Resposta

A igualdade foi demonstrada usando a linearidade do determinante na primeira linha, resultando na soma dos dois determinantes apresentados.

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