Determine, por meio de operações elementares, a inversa da matriz:
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a inversa da matriz . A matéria que estamos usando aqui é Álgebra Linear, mais especificamente, matrizes e operações elementares para encontrar a matriz inversa. Para isso, vamos precisar realizar operações nas linhas da matriz para transformá-la na matriz identidade, e ao mesmo tempo aplicar essas mesmas operações na matriz identidade para obter a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada com a matriz identidade , formando a matriz aumentada :

Passo 3

Nosso objetivo é transformar a parte da esquerda (a matriz ) na matriz identidade usando operações nas linhas. Cada operação que fizermos na parte esquerda, também faremos na parte direita. Vamos começar pela primeira coluna.
Primeiro, queremos que o elemento da primeira linha e primeira coluna seja 1. Vamos multiplicar a primeira linha por :

Passo 4

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do 1 que acabamos de criar na primeira coluna. Para isso:
  • Subtrai 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
  • Adiciona 4 vezes a primeira linha à terceira linha:
  • Subtrai 3 vezes a primeira linha da quarta linha:
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 5

Vamos focar na segunda coluna agora. Queremos que o elemento da segunda linha e segunda coluna seja 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por :

Passo 6

Agora, vamos zerar os demais elementos na segunda coluna:
  • Subtrai a segunda linha da terceira linha:
  • Adiciona vezes a segunda linha à quarta linha:
  • Subtrai vezes a segunda linha da primeira linha:
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 7

Vamos agora para a terceira coluna. Queremos que o elemento da terceira linha e terceira coluna seja 1. Para isso, multiplicamos a terceira linha por :

Passo 8

Agora, vamos zerar os demais elementos na terceira coluna:
  • Adiciona 2 vezes a terceira linha à primeira linha:
  • Subtrai 4 vezes a terceira linha da segunda linha:
  • Subtrai a terceira linha da quarta linha:
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 9

Por último, vamos trabalhar com a quarta coluna. Queremos que o elemento da quarta linha e quarta coluna seja 1. Para isso, multiplicamos a quarta linha por 2:

Passo 10

Agora, vamos zerar os demais elementos na quarta coluna:
  • Adiciona 5 vezes a quarta linha à primeira linha:
  • Adiciona 4 vezes a quarta linha à segunda linha:
  • Adiciona vezes a quarta linha à terceira linha:
Após essas operações, a matriz fica:

Resposta

A inversa da matriz é:

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