Determine, por meio de operações elementares, a inversa da matriz:
c) C=[cccc-2 & -1 & 0 & 2 3 & 1 & -2 & 2 -4 & -1 & 2 & 3 3 & 1 & -1 & -2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a inversa da matriz . A matéria que estamos usando aqui é Álgebra Linear, mais especificamente, matrizes e operações elementares para encontrar a matriz inversa. Para isso, vamos precisar realizar operações nas linhas da matriz para transformá-la na matriz identidade, e ao mesmo tempo aplicar essas mesmas operações na matriz identidade para obter a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz [cccc|cccc -2 & -1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 3 & 1 & -2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 -4 & -1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 3 & 1 & -1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 ] aumentada com a matriz identidade , formando a matriz aumentada :

Passo 3

Nosso objetivo é transformar a parte da esquerda (a matriz R1 = -12 times R1 ) na matriz identidade [cccc|cccc 1 & 12 & 0 & -1 & -12 & 0 & 0 & 0 3 & 1 & -2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 -4 & -1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 3 & 1 & -1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 ] usando operações nas linhas. Cada operação que fizermos na parte esquerda, também faremos na parte direita. Vamos começar pela primeira coluna.
Primeiro, queremos que o elemento da primeira linha e primeira coluna seja 1. Vamos multiplicar a primeira linha por :

Passo 4

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do 1 que acabamos de criar na primeira coluna. Para isso:
  • Subtrai 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 3 times R1
  • Adiciona 4 vezes a primeira linha à terceira linha:
R3 = R3 + 4 times R1
  • Subtrai 3 vezes a primeira linha da quarta linha:
R4 = R4 - 3 times R1
Após essas operações, a matriz fica:
[cccc|cccc 1 & 12 & 0 & -1 & -12 & 0 & 0 & 0 0 & -12 & -2 & 5 & 32 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & -1 & -2 & 0 & 1 & 0 0 & -12 & -1 & 1 & 32 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Vamos focar na segunda coluna agora. Queremos que o elemento da segunda linha e segunda coluna seja 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por R2 = -2 times R2 :
[cccc|cccc 1 & 12 & 0 & -1 & -12 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 4 & -10 & -3 & -2 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & -1 & -2 & 0 & 1 & 0 0 & -12 & -1 & 1 & 32 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 6

Agora, vamos zerar os demais elementos na segunda coluna:
  • Subtrai a segunda linha da terceira linha:
R3 = R3 - R2
  • Adiciona R4 = R4 + 12 times R2 vezes a segunda linha à quarta linha:
R1 = R1 - 12 times R2
  • Subtrai [cccc|cccc 1 & 0 & -2 & 4 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 4 & -10 & -3 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & 9 & 1 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & -1 & 0 & 1 ] vezes a segunda linha da primeira linha:
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 7

Vamos agora para a terceira coluna. Queremos que o elemento da terceira linha e terceira coluna seja 1. Para isso, multiplicamos a terceira linha por R3 = -12 times R3 :
[cccc|cccc 1 & 0 & -2 & 4 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 4 & -10 & -3 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -92 & -12 & -1 & -12 & 0 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & -1 & 0 & 1 ]

Passo 8

Agora, vamos zerar os demais elementos na terceira coluna:
  • Adiciona 2 vezes a terceira linha à primeira linha:
R1 = R1 + 2 times R3
  • Subtrai 4 vezes a terceira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 4 times R3
  • Subtrai a terceira linha da quarta linha:
R4 = R4 - R3
Após essas operações, a matriz fica:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & -5 & 0 & -1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & -4 & -1 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & -92 & -12 & -1 & -12 & 0 0 & 0 & 0 & 12 & 12 & 0 & 12 & 1 ]

Passo 9

Por último, vamos trabalhar com a quarta coluna. Queremos que o elemento da quarta linha e quarta coluna seja 1. Para isso, multiplicamos a quarta linha por 2:
R4 = 2 times R4
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & -5 & 0 & -1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & -4 & -1 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & -92 & -12 & -1 & -12 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 2 ]

Passo 10

Agora, vamos zerar os demais elementos na quarta coluna:
  • Adiciona 5 vezes a quarta linha à primeira linha:
R1 = R1 + 5 times R4
  • Adiciona 4 vezes a quarta linha à segunda linha:
R2 = R2 + 4 times R4
  • Adiciona R3 = R3 + 92 times R4 vezes a quarta linha à terceira linha:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 5 & -1 & 4 & 10 0 & 1 & 0 & 0 & 3 & 2 & 6 & 8 0 & 0 & 1 & 0 & 4 & -1 & 4 & 9 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 2 ]
Após essas operações, a matriz fica:

Resposta

A inversa da matriz C^-1 = [cccc 5 & -1 & 4 & 10 3 & 2 & 6 & 8 4 & -1 & 4 & 9 1 & 0 & 1 & 2 ] é:

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