Considere o triângulo
de vértices
e
. O ponto do triângulo em que se interceptam as três mediatrizes (segmento perpendicular a um lado e ao qual pertence seu ponto médio) é chamado circuncentro. Determine as coordenadas do circuncentro de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo com vértices nas coordenadas
,
e
. A pergunta é: qual é o circuncentro desse triângulo? O circuncentro é o ponto onde as três mediatrizes (aqueles segmentos perpendiculares que passam pelo ponto médio de cada lado) se encontram. Para resolver isso, vamos precisar calcular as equações de duas dessas mediatrizes e encontrar o ponto onde elas se cruzam.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto médio de um dos lados. Vamos escolher o lado AB, que vai de A(2,4) até B(6,8). O ponto médio M_AB é calculado pela média das coordenadas:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação do lado AB. A fórmula da inclinação entre dois pontos
e
é:
Para AB:
Passo 4
A mediatriz é perpendicular ao lado AB, então a inclinação da mediatriz será o negativo do inverso da inclinação de AB:
Agora, usamos a equa��ão da reta na forma ponto-inclinação para encontrar a equação da mediatriz que passa pelo ponto médio M_AB(4, 6):
Passo 5
Vamos repetir o processo para outro lado, digamos o lado AC, que vai de A(2,4) até C(12,2). Primeiro, achamos o ponto médio M_AC:
Passo 6
Calculamos a inclinação do lado AC:
A inclinação da mediatriz será:
Usando a equação ponto-inclinação com M_AC(7, 3):
Passo 7
Agora temos as equações das duas mediatrizes:
Para encontrar o circuncentro, precisamos resolver esse sistema de equações. Vamos igualar as duas expressões para
:
Substituindo
em uma das equações para encontrar
:
Resposta
O circuncentro do triângulo está nas coordenadas
.