Considere o triângulo triang<= ABC de vértices (2,4),(6,8) e (12,2). O ponto do triângulo em que se interceptam as três mediatrizes (segmento perpendicular a um lado e ao qual pertence seu ponto médio) é chamado circuncentro. Determine as coordenadas do circuncentro de triang<= ABC.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo com vértices nas coordenadas (2,4), (6,8) e (12,2). A pergunta é: qual é o circuncentro desse triângulo? O circuncentro é o ponto onde as três mediatrizes (aqueles segmentos perpendiculares que passam pelo ponto médio de cada lado) se encontram. Para resolver isso, vamos precisar calcular as equações de duas dessas mediatrizes e encontrar o ponto onde elas se cruzam.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio de um dos lados. Vamos escolher o lado AB, que vai de A(2,4) até B(6,8). O ponto médio M_AB é calculado pela média das coordenadas:
MAB = ( 2 + 62, 4 + 82 ) = (4, 6)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação do lado AB. A fórmula da inclinação entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
m = y2 - y1x2 - x1
Para AB:
mAB = 8 - 46 - 2 = 44 = 1

Passo 4

A mediatriz é perpendicular ao lado AB, então a inclinação da mediatriz será o negativo do inverso da inclinação de AB:
mperp = -1mAB = -1
Agora, usamos a equa��ão da reta na forma ponto-inclinação para encontrar a equação da mediatriz que passa pelo ponto médio M_AB(4, 6):
y - 6 = -1(x - 4) y = -x + 4 + 6 y = -x + 10

Passo 5

Vamos repetir o processo para outro lado, digamos o lado AC, que vai de A(2,4) até C(12,2). Primeiro, achamos o ponto médio M_AC:
MAC = ( 2 + 122, 4 + 22 ) = (7, 3)

Passo 6

Calculamos a inclinação do lado AC:
mAC = 2 - 412 - 2 = -210 = -15
A inclinação da mediatriz será:
mperp = -1mAC = 5
Usando a equação ponto-inclinação com M_AC(7, 3):
y - 3 = 5(x - 7) y = 5x - 35 + 3 y = 5x - 32

Passo 7

Agora temos as equações das duas mediatrizes:
y = -x + 10 y = 5x - 32
Para encontrar o circuncentro, precisamos resolver esse sistema de equações. Vamos igualar as duas expressões para -x + 10 = 5x - 32 10 + 32 = 5x + x 42 = 6x x = 7 :
y = -7 + 10 = 3
Substituindo em uma das equações para encontrar :

Resposta

O circuncentro do triângulo está nas coordenadas (7, 3).

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