Discuta a posição relativa das duas retas a seguir em função do valor de e . Resp.: se são paralelas, do contrário são concorrentes, não havendo possibilidade de serem coincidentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar como duas retas se relacionam dependendo do valor de . As retas são:
Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar se duas retas são paralelas, coincidentes ou se elas se cruzam (concorrentes).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que duas retas no plano são paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular, ou seja, a inclinação das retas é igual. A inclinação de uma reta na forma geral é .
Vamos encontrar a inclinação de cada reta.
Para a reta :
çã
Para a reta :
çã

Passo 3

Agora, para as retas serem paralelas, as inclinações devem ser iguais:
Resolvendo para :
Então, quando , as retas têm a mesma inclinação e são paralelas.

Passo 4

Se for diferente de , as inclinações das retas são diferentes:
Quando as inclinações são diferentes, as retas se cruzam em exatamente um ponto, ou seja, são concorrentes.

Passo 5

Além disso, para duas retas coincidirem, elas precisam ter não apenas a mesma inclinação, mas também os mesmos termos constantes proporcionais, o que não ocorre nesse caso. Portanto, não há possibilidade de as retas serem coincidentes.

Resposta

Se , as retas são paralelas. Para qualquer outro valor de , elas são concorrentes, não havendo possibilidade de serem coincidentes.

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