Discuta a posição relativa das duas retas a seguir em função do valor de k: r: x+2y-k=0 e kx-2y-6=0. Resp.: se k=-1 são paralelas, do contrário são concorrentes, não havendo possibilidade de serem coincidentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar como duas retas se relacionam dependendo do valor de r: x + 2y - k = 0 e kx - 2y - 6 = 0 . As retas são:
Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar se duas retas são paralelas, coincidentes ou se elas se cruzam (concorrentes).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que duas retas no plano são paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular, ou seja, a inclinação das retas é igual. A inclinação de uma reta na forma geral Inclinação de r = -12 é Inclinação = -k-2 = k2 .
Vamos encontrar a inclinação de cada reta.
Para a reta :
çã
Para a reta :
çã

Passo 3

Agora, para as retas serem paralelas, as inclinações devem ser iguais:
-12 = k2
Resolvendo para -12 = k2 implies k = -1 :
Então, quando , as retas têm a mesma inclinação e são paralelas.

Passo 4

Se k2 neq -12 implies k neq -1 for diferente de , as inclinações das retas são diferentes:
Quando as inclinações são diferentes, as retas se cruzam em exatamente um ponto, ou seja, são concorrentes.

Passo 5

Além disso, para duas retas coincidirem, elas precisam ter não apenas a mesma inclinação, mas também os mesmos termos constantes proporcionais, o que não ocorre nesse caso. Portanto, não há possibilidade de as retas serem coincidentes.

Resposta

Se , as retas são paralelas. Para qualquer outro valor de , elas são concorrentes, não havendo possibilidade de serem coincidentes.

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