Mostre que se uma reta é paralela a dois planos secantes, então ela é paralela à reta de interseção dos dois planos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se uma reta é paralela a dois planos que se cortam (ou seja, são planos secantes), então essa reta também é paralela à reta onde esses dois planos se cruzam. Vamos trabalhar com geometria espacial aqui, e para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma reta ser paralela a um plano e como identificar a reta de interseção entre dois planos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma reta ser paralela a um plano. Quando dizemos que uma reta é paralela a um plano, significa que ela nunca vão se encontrar, independente de quanto se estendam. Ou seja, a direção da reta não intercepta o plano.
Passo 3
Agora, vamos considerar que temos dois planos que se cortam, chamados de planos secantes. A reta de interseção desses dois planos é a linha onde eles se encontram. Nosso objetivo é mostrar que se uma terceira reta é paralela a esses dois planos, então ela também é paralela a essa reta de interseção.
Passo 4
Para fazer isso, vamos pensar nas direções das retas e planos em relação umas às outras. Se a reta é paralela aos dois planos, isso significa que sua direção é perpendicular às normais desses planos. Lembrando que a normal de um plano é uma reta perpendicular a esse plano.
Passo 5
Como a reta é paralela aos dois planos, ela está “seguindo” a mesma direção em relação a ambos. Agora, a reta de interseção dos dois planos também está diretamente relacionada às direções dessas normais.
Passo 6
Dado que a reta de interseção está na direção determinada pelas duas normais dos planos, e que a reta em questão é perpendicular a ambas as normais (já que é paralela aos planos), isso implica que as direções são as mesmas ou opostas. Ou seja, a reta em questão está na mesma direção da reta de interseção.
Passo 7
Então, se duas retas estão na mesma direção, elas são paralelas. Portanto, a reta que é paralela aos dois planos secantes também é paralela à reta de interseção desses planos.
Resposta
Concluímos que se uma reta é paralela a dois planos secantes, então ela é de fato paralela à reta de interseção desses dois planos.
Exercícios relacionados
Discuta a posição relativa das duas retas a seguir em função do valor de
e
. Resp.: se
são paralelas, do contrário são concorrentes, não havendo possibilidade de serem coincidentes.
No sistema
de coordenadas cartesianas, o que representa geometricamente a equação
?
Considere o triângulo
de vértices
e
. O ponto do triângulo em que se interceptam as três mediatrizes (segmento perpendicular a um lado e ao qual pertence seu ponto médio) é chamado circuncentro. Determine as coordenadas do circuncentro de
.
Seja r uma reta qualquer e s uma reta não paralela a r. Mostre que todas as retas paralelas a s e concorrentes com r estão contidas no mesmo plano.