Considere o triângulo de vértices e . O ponto do triângulo em que se interceptam as três alturas (segmentos de reta perpendicular à reta suporte de um lado do triângulo com extremidades nesta reta e no vértice oposto ao lado considerado) é chamado ortocentro. Determine as coordenadas do ortocentro de . Classifique o triângulo mediante sua resposta nesse item;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um triângulo com vértices nas coordenadas , e . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do ortocentro desse triângulo. O ortocentro é o ponto onde as três alturas do triângulo se encontram. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas e perpendicularidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos:
-
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Precisamos encontrar as equações das alturas do triângulo. Uma altura é uma reta que passa por um vértice e é perpendicular ao lado oposto.
Passo 3
Vamos encontrar a equação da altura a partir do vértice que é perpendicular ao lado .
Primeiro, encontramos a inclinação da reta . A fórmula da inclinação entre dois pontos e é:
Então, para e :
A inclinação da altura será o negativo do inverso da inclinação de , pois elas são perpendiculares:
Agora, usamos a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Para a altura a partir de :
Passo 4
Agora, vamos encontrar a equação da altura a partir do vértice que é perpendicular ao lado .
Primeiro, encontramos a inclinação da reta :
A inclinação da altura será o negativo do inverso da inclinação de :
Usando a equação ponto-inclinação para a altura a partir de :
Passo 5
Agora que temos as equações das duas alturas:
1.
2.
Para encontrar o ortocentro, precisamos encontrar o ponto de interseção dessas duas retas. Vamos igualar as duas equações:
Substituindo em uma das equações para encontrar :
Resposta
O ortocentro de está nas coordenadas . Para classificar o triângulo, observamos que o ortocentro coincide com o vértice , o que indica que é um triângulo retângulo, pois em triângulos retângulos o ortocentro coincide com o vértice do ângulo reto.
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