Considere o triângulo triang<= ABC de vértices (2,4),(6,8) e (12,2). O ponto do triângulo em que se interceptam as três alturas (segmentos de reta perpendicular à reta suporte de um lado do triângulo com extremidades nesta reta e no vértice oposto ao lado considerado) é chamado ortocentro. Determine as coordenadas do ortocentro de triang<= ABC. Classifique o triângulo mediante sua resposta nesse item;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um triângulo triang<= ABC com vértices nas coordenadas (2,4), (6,8) e (12,2). Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do ortocentro desse triângulo. O ortocentro é o ponto onde as três alturas do triângulo se encontram. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas e perpendicularidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos:
  • A(2,4)
  • B(6,8)
  • C(12,2)
Precisamos encontrar as equações das alturas do triângulo. Uma altura é uma reta que passa por um vértice e é perpendicular ao lado oposto.

Passo 3

Vamos encontrar a equação da altura a partir do vértice A que é perpendicular ao lado BC.
Primeiro, encontramos a inclinação da reta BC. A fórmula da inclinação entre dois pontos (x1,y1) e (x2,y2) é:
m = y2 - y1x2 - x1
Então, para B(6,8) e C(12,2):
mBC = 2 - 812 - 6 = -66 = -1
A inclinação da altura será o negativo do inverso da inclinação de BC, pois elas são perpendiculares:
ma
Agora, usamos a equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y1 = m(x - x1)
Para a altura a partir de A(2,4):
y - 4 = 1(x - 2) y = x + 2

Passo 4

Agora, vamos encontrar a equação da altura a partir do vértice B que é perpendicular ao lado AC.
Primeiro, encontramos a inclinação da reta AC:
mAC = 2 - 412 - 2 = -210 = -0,2
A inclinação da altura será o negativo do inverso da inclinação de AC:
ma
Usando a equação ponto-inclinação para a altura a partir de B(6,8):
y - 8 = 5(x - 6) y = 5x - 30 + 8 y = 5x - 22

Passo 5

Agora que temos as equações das duas alturas:
  1. y = x + 2
  2. y = 5x - 22
Para encontrar o ortocentro, precisamos encontrar o ponto de interseção dessas duas retas. Vamos igualar as duas equações:
x + 2 = 5x - 22 2 + 22 = 5x - x 24 = 4x x = 6
Substituindo x = 6 em uma das equações para encontrar y:
y = 6 + 2 = 8

Resposta

O ortocentro de triang<= ABC está nas coordenadas (6,8). Para classificar o triângulo, observamos que o ortocentro coincide com o vértice B(6,8), o que indica que triang<= ABC é um triângulo retângulo, pois em triângulos retângulos o ortocentro coincide com o vértice do ângulo reto.

Exercícios relacionados