(Critério para invertibilidade) Calcular o determinante de cada matriz abaixo indicada e determinar o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s) para que as matrizes sejam invertíveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz e descobrir para quais valores do parâmetro a matriz fica invertível. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes e condições de invertibilidade. Então, vamos precisar entender como calcular determinantes e saber que uma matriz é invertível se o determinante for diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a matriz que temos:
Ela é uma matriz quadrada de 4x4, onde os elementos da diagonal principal são todos iguais a e os demais elementos são iguais a 1.

Passo 3

Para calcular o determinante dessa matriz, podemos usar uma propriedade de matrizes simétricas com todos os elementos fora da diagonal iguais. Sabemos que essas matrizes têm uma estrutura especial que facilita o cálculo do determinante.

Passo 4

Vamos chamar essa matriz de , onde é a matriz identidade e é a matriz com todos os elementos iguais a 1. Sabemos que:

Passo 5

Para calcular o determinante de , usamos uma fórmula conhecida para matrizes desse tipo:
onde é a ordem da matriz. No nosso caso, .

Passo 6

Aplicando a fórmula:

Passo 7

Agora, para que a matriz seja invertível, o determinante precisa ser diferente de zero:

Passo 8

Resolvendo a desigualdade:

Resposta

A matriz é invertível para todos os valores de exceto e . Ou seja, é invertível se e .

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Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear:
Qual a transformação de ?
Considere o triângulo de vértices e . O ponto do triângulo em que se interceptam as três alturas (segmentos de reta perpendicular à reta suporte de um lado do triângulo com extremidades nesta reta e no vértice oposto ao lado considerado) é chamado ortocentro. Determine as coordenadas do ortocentro de . Classifique o triângulo mediante sua resposta nesse item;
Determine a projeção ortogonal do ponto sobre a reta . R.:
Determine o menor ângulo formado pelas as retas: e . R.: