(Critério para invertibilidade) Calcular o determinante de cada matriz abaixo indicada e determinar o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s) para que as matrizes sejam invertíveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz e descobrir para quais valores do parâmetro a matriz fica invertível. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes e condições de invertibilidade. Então, vamos precisar entender como calcular determinantes e saber que uma matriz é invertível se o determinante for diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a matriz que temos:
Ela é uma matriz quadrada de 4x4, onde os elementos da diagonal principal são todos iguais a e os demais elementos são iguais a 1.
Passo 3
Para calcular o determinante dessa matriz, podemos usar uma propriedade de matrizes simétricas com todos os elementos fora da diagonal iguais. Sabemos que essas matrizes têm uma estrutura especial que facilita o cálculo do determinante.
Passo 4
Vamos chamar essa matriz de , onde é a matriz identidade e é a matriz com todos os elementos iguais a 1. Sabemos que:
Passo 5
Para calcular o determinante de , usamos uma fórmula conhecida para matrizes desse tipo:
onde é a ordem da matriz. No nosso caso, .
Passo 6
Aplicando a fórmula:
Passo 7
Agora, para que a matriz seja invertível, o determinante precisa ser diferente de zero:
Passo 8
Resolvendo a desigualdade:
Resposta
A matriz é invertível para todos os valores de exceto e . Ou seja, é invertível se e .