Considere o triângulo . Sejam o ponto de tal que e N o ponto do lado A B tal que B N=13 B A. Mostre que os segmentos [A, M] e [C, N] se interceptam no ponto D tal que C D=34 C N e A D=34 A M.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de geometria envolvendo um triângulo e alguns pontos específicos nele. A gente tem o triângulo triang<= ABC e precisamos provar que as retas [A, M] e [C, N] se encontram no ponto D com certas proporções. Para isso, vamos usar um pouco de geometria vetorial para facilitar a nossa vida.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a posição dos pontos usando coordenadas vetoriais. Vamos considerar o ponto A na origem, ou seja, A = 0. Suponhamos que B = b e C = c. Isso vai nos ajudar a expressar os outros pontos em relação a A, B e C.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas dos pontos M e N. Sabemos que M está no lado BC tal que BM = 13BC. Como BC = C - B = c - b, então:
M = B + 13(C - B) = b + 13(c - b) = 23b + 13c
De maneira similar, N está no lado AB tal que BN = 13BA. Como BA = A - B = -b, então:
N = B + 13(-b) = b - 13b = 23b
Passo 4
Vamos agora escrever as equações das retas [A, M] e [C, N]. A reta [A, M] pode ser parametrizada por um parâmetro t, onde t varia de 0 a 1:
R1(t) = A + t(M - A) = t(23b + 13c)
Da mesma forma, a reta [C, N] pode ser parametrizada por um parâmetro s:
R2(s) = C + s(N - C) = c + s(23b - c)
Passo 5
Para encontrar o ponto de interseção D, precisamos igualar as duas equações vetoriais:
t(23b + 13c) = c + s(23b - c)
Igualando os coeficientes de b e c, obtemos um sistema de equações:
23t = 23s 13t = 1 - s
Resolvendo o primeiro, temos t = s. Substituindo na segunda equação:
13t = 1 - t 43t = 1 t = 34
Portanto, s = 34.
Passo 6
Agora que temos os valores de t e s, podemos encontrar as proporções desejadas. A posição de D na reta [C, N] é dada por s = 34, então:
CD = s(N - C) = 34(23b - c)
Isso mostra que CD = 34 CN. Similarmente, na reta [A, M], temos:
AD = t(M - A) = 34(23b + 13c)
O que confirma que AD = 34 AM.
Resposta
Os segmentos [A, M] e [C, N] se interceptam no ponto D tal que CD = 34 CN e AD = 34 AM.