(2,0 pts) Seja
(b) Caso afirmativo determine uma base
de
.
(b) Caso afirmativo determine uma base
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto
. A pergunta é se podemos encontrar uma base
pra esse conjunto. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e bases. Vamos precisar entender o que é uma base e como encontrar vetores que “geram” o espaço
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa equação
relaciona as coordenadas
e
, ou seja, para qualquer vetor em
, o valor de
é sempre o dobro de
. Então, podemos reescrever
em termos de
:
Isso simplifica nosso conjunto para:
Passo 3
Agora, observe que os valores de
e
são livres, ou seja, podemos escolher qualquer número real para eles. Isso indica que
é um subespaço vetorial de
com dimensão 2, já que temos duas variáveis livres.
Passo 4
Para encontrar uma base
de
, precisamos encontrar dois vetores que sejam linearmente independentes e que “gerem” todo o espaço
. Vamos construir esses vetores usando as variáveis livres
e
:
- Primeiro vetor: Vamos escolher
e :
- Segundo vetor: Agora, escolhemos
e :
Passo 5
Os vetores
e
são linearmente independentes porque nenhum dos vetores é múltiplo do outro. Além disso, qualquer vetor em
pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores:
Resposta
Uma base
de
é formada pelos vetores