(2,0 pts) Seja
(b) Caso afirmativo determine uma base de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto . A pergunta é se podemos encontrar uma base pra esse conjunto. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e bases. Vamos precisar entender o que é uma base e como encontrar vetores que “geram” o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Essa equação relaciona as coordenadas e , ou seja, para qualquer vetor em , o valor de é sempre o dobro de . Então, podemos reescrever em termos de :
Isso simplifica nosso conjunto para:
Passo 3
Agora, observe que os valores de e são livres, ou seja, podemos escolher qualquer número real para eles. Isso indica que é um subespaço vetorial de com dimensão 2, já que temos duas variáveis livres.
Passo 4
Para encontrar uma base de , precisamos encontrar dois vetores que sejam linearmente independentes e que “gerem” todo o espaço . Vamos construir esses vetores usando as variáveis livres e :
Primeiro vetor: Vamos escolher e :
Segundo vetor: Agora, escolhemos e :
Passo 5
Os vetores e são linearmente independentes porque nenhum dos vetores é múltiplo do outro. Além disso, qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores: