(2,0 pts) Seja W=(x, y, z) in R^3 ; 2 x-z=0
(b) Caso afirmativo determine uma base beta de W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto . A pergunta é se podemos encontrar uma base pra esse conjunto. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e bases. Vamos precisar entender o que é uma base e como encontrar vetores que “geram” o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa z = 2x . Essa equação W = (x, y, 2x) ; x, y in R relaciona as coordenadas e , ou seja, para qualquer vetor em , o valor de é sempre o dobro de . Então, podemos reescrever em termos de :
Isso simplifica nosso conjunto para:

Passo 3

Agora, observe que os valores de e são livres, ou seja, podemos escolher qualquer número real para eles. Isso indica que é um subespaço vetorial de com dimensão 2, já que temos duas variáveis livres.

Passo 4

Para encontrar uma base (1, 0, 2 cdot 1) = (1, 0, 2) de (0, 1, 2 cdot 0) = (0, 1, 0) , precisamos encontrar dois vetores que sejam linearmente independentes e que “gerem” todo o espaço . Vamos construir esses vetores usando as variáveis livres e :
  1. Primeiro vetor: Vamos escolher e :
  1. Segundo vetor: Agora, escolhemos e :

Passo 5

Os vetores (x, y, 2x) = x cdot (1, 0, 2) + y cdot (0, 1, 0) e são linearmente independentes porque nenhum dos vetores é múltiplo do outro. Além disso, qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores:

Resposta

Uma base beta = , (1, 0, 2),; (0, 1, 0) , de é formada pelos vetores

Exercícios relacionados