(2,0 pts) Seja
(b) Caso afirmativo determine uma base de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto . A pergunta é se podemos encontrar uma base pra esse conjunto. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e bases. Vamos precisar entender o que é uma base e como encontrar vetores que “geram” o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa equação relaciona as coordenadas e , ou seja, para qualquer vetor em , o valor de é sempre o dobro de . Então, podemos reescrever em termos de :
Isso simplifica nosso conjunto para:

Passo 3

Agora, observe que os valores de e são livres, ou seja, podemos escolher qualquer número real para eles. Isso indica que é um subespaço vetorial de com dimensão 2, já que temos duas variáveis livres.

Passo 4

Para encontrar uma base de , precisamos encontrar dois vetores que sejam linearmente independentes e que “gerem” todo o espaço . Vamos construir esses vetores usando as variáveis livres e :
  1. Primeiro vetor: Vamos escolher e :
  1. Segundo vetor: Agora, escolhemos e :

Passo 5

Os vetores e são linearmente independentes porque nenhum dos vetores é múltiplo do outro. Além disso, qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores:

Resposta

Uma base de é formada pelos vetores

Exercícios relacionados

Considere o triângulo . Sejam o ponto de tal que e o ponto do lado tal que . Mostre que os segmentos e se interceptam no ponto tal que e .
Se e , calcule .
Dados vetores e , mostre que . Conclua que, em um paralelogramo qualquer, com lados medindo , e diagonais medindo e , vale a igualdade .
Dado o triângulo , sejam os pontos médios dos lados e , respectivamente. Ponha e .
(a) Se , use o problema 4. para mostrar que , o comprimento da mediana , é dado por
Encontre fórmulas análogas para e ;
(b) Mostre que ;
© Mostre que duas medianas quaisquer, por exemplo e , são concorrentes, verificando que uma igualdade do tipo produz uma contradição;
(d) Seja o ponto de interseção das retas e e o ponto de interseção de e . Mostre que e . Conclua que e ; em particular, e as três medianas se cortam em . ( é conhecido como baricentro do triângulo );
(e) Mostre que . (Use os itens (b) e (d));
(f) Do item anterior, conclua que se é um ponto qualquer, então