Se |u|=19,|v|=13 e |u+v|=24, calcule |u-v|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente está lidando com álgebra de vetores, especificamente com normas de vetores e operações entre eles. O que precisamos descobrir é o valor da norma de , dado que conhecemos as normas de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor, , representa o comprimento ou a magnitude desse vetor. Temos as seguintes informações:

Passo 3

Para encontrar |u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2 + 2,u cdot v , vamos usar a fórmula que relaciona as normas dos vetores e o produto interno (ou produto escalar) entre eles:
|u - v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2,u cdot v
E de forma semelhante:

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o produto escalar 24^2 = 19^2 + 13^2 + 2,u cdot v usando a primeira equação:
576 = 361 + 169 + 2,u cdot v
Calculando os quadrados:
576 = 530 + 2,u cdot v
Somando 361 e 169:
46 = 2,u cdot v
Subtraindo 530 de ambos os lados:
u cdot v = 23
Dividindo por 2:

Passo 5

Agora que temos o valor de |u - v|^2 = 19^2 + 13^2 - 2 times 23 , podemos usar a segunda equação para encontrar |u - v|^2 = 361 + 169 - 46 :
|u - v|^2 = 530 - 46 = 484
Calculando os quadrados e multiplicação:
Somando e subtraindo:

Resposta

Portanto, a norma de |u - v| = raiz484 = 22 é:

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