Dados vetores e , mostre que . Conclua que, em um paralelogramo qualquer, com lados medindo , e diagonais medindo e , vale a igualdade .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos dois vetores, e , e queremos mostrar que a soma dos quadrados das normas de e é igual a duas vezes a soma dos quadrados das normas de e . Esse tipo de problema está ligado ao conteúdo de álgebra vetorial, especificamente propriedades de vetores e produto escalar. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular a norma de um vetor e como o produto escalar funciona.

Passo 2

Vamos relembrar que a norma de um vetor é definida por:
Portanto, o quadrado da norma é:
Aqui, o símbolo “ ” representa o produto escalar entre dois vetores.

Passo 3

Agora, vamos calcular usando a definição da norma:
Expandindo o produto escalar:

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para :
Expandindo o produto escalar:

Passo 5

Agora, vamos somar as duas expressões que encontramos:
Simplificando:
Isso confirma a primeira parte que queríamos mostrar.

Passo 6

Agora, vamos aplicar isso a um paralelogramo. Em um paralelogramo, os lados são representados pelos vetores e , e as diagonais são dadas por e .
Se chamarmos as magnitudes das diagonais de e , temos:
Então, elevando ao quadrado:
Combinando com o que já mostramos:

Resposta

Portanto, em qualquer paralelogramo com lados medindo e , e diagonais medindo e , a igualdade é válida.

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(2,0 pts) Seja
(b) Caso afirmativo determine uma base de .
Considere o triângulo . Sejam o ponto de tal que e o ponto do lado tal que . Mostre que os segmentos e se interceptam no ponto tal que e .
Dado o triângulo , sejam os pontos médios dos lados e , respectivamente. Ponha e .
(a) Se , use o problema 4. para mostrar que , o comprimento da mediana , é dado por
Encontre fórmulas análogas para e ;
(b) Mostre que ;
© Mostre que duas medianas quaisquer, por exemplo e , são concorrentes, verificando que uma igualdade do tipo produz uma contradição;
(d) Seja o ponto de interseção das retas e e o ponto de interseção de e . Mostre que e . Conclua que e ; em particular, e as três medianas se cortam em . ( é conhecido como baricentro do triângulo );
(e) Mostre que . (Use os itens (b) e (d));
(f) Do item anterior, conclua que se é um ponto qualquer, então
Sejam vetores não colineares (não paralelos), localizados no ponto . Se são os respectivos vetores unitários de e de , mostre que é paralelo à bissetriz do ângulo entre e . O vetor é unitário?