Dados vetores e , mostre que . Conclua que, em um paralelogramo qualquer, com lados medindo , e diagonais medindo e , vale a igualdade .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos dois vetores, e , e queremos mostrar que a soma dos quadrados das normas de e é igual a duas vezes a soma dos quadrados das normas de e . Esse tipo de problema está ligado ao conteúdo de álgebra vetorial, especificamente propriedades de vetores e produto escalar. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular a norma de um vetor e como o produto escalar funciona.
Passo 2
Vamos relembrar que a norma de um vetor é definida por:
Portanto, o quadrado da norma é:
Aqui, o símbolo “” representa o produto escalar entre dois vetores.
Passo 3
Agora, vamos calcular usando a definição da norma:
Expandindo o produto escalar:
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para :
Expandindo o produto escalar:
Passo 5
Agora, vamos somar as duas expressões que encontramos:
Simplificando:
Isso confirma a primeira parte que queríamos mostrar.
Passo 6
Agora, vamos aplicar isso a um paralelogramo. Em um paralelogramo, os lados são representados pelos vetores e , e as diagonais são dadas por e .
Se chamarmos as magnitudes das diagonais de e , temos:
Então, elevando ao quadrado:
Combinando com o que já mostramos:
Resposta
Portanto, em qualquer paralelogramo com lados medindo e , e diagonais medindo e , a igualdade é válida.