Dados vetores a e b, mostre que |a+b|^2+|a-b|^2=2(|a|^2+|b|^2). Conclua que, em um paralelogramo qualquer, com lados medindo |a| e|b|, e diagonais medindo d1 e d2, vale a igualdade d1^2+d2^2=2(|a|^2+|b|^2).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos dois vetores, a e b, e queremos mostrar que a soma dos quadrados das normas de a + b e a - b é igual a duas vezes a soma dos quadrados das normas de a e b. Esse tipo de problema está ligado ao conteúdo de álgebra vetorial, especificamente propriedades de vetores e produto escalar. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular a norma de um vetor e como o produto escalar funciona.

Passo 2

Vamos relembrar que a norma de um vetor v é definida por:
|v| = raizv cdot v
Portanto, o quadrado da norma é:
|v|^2 = v cdot v
Aqui, o símbolo “ cdot” representa o produto escalar entre dois vetores.

Passo 3

Agora, vamos calcular |a + b|^2 usando a definição da norma:
|a + b|^2 = (a + b) cdot (a + b)
Expandindo o produto escalar:
|a + b|^2 = a cdot a + 2,a cdot b + b cdot b |a + b|^2 = |a|^2 + 2,a cdot b + |b|^2

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para |a - b|^2:
|a - b|^2 = (a - b) cdot (a - b)
Expandindo o produto escalar:
|a - b|^2 = a cdot a - 2,a cdot b + b cdot b |a - b|^2 = |a|^2 - 2,a cdot b + |b|^2

Passo 5

Agora, vamos somar as duas expressões que encontramos:
|a + b|^2 + |a - b|^2 = (|a|^2 + 2,a cdot b + |b|^2) + (|a|^2 - 2,a cdot b + |b|^2)
Simplificando:
|a + b|^2 + |a - b|^2 = 2,|a|^2 + 2,|b|^2 |a + b|^2 + |a - b|^2 = 2,(|a|^2 + |b|^2)
Isso confirma a primeira parte que queríamos mostrar.

Passo 6

Agora, vamos aplicar isso a um paralelogramo. Em um paralelogramo, os lados são representados pelos vetores a e b, e as diagonais são dadas por a + b e a - b.
Se chamarmos as magnitudes das diagonais de d1 e d2, temos:
d1 = |a + b| e d2 = |a - b|
Então, elevando ao quadrado:
d1^2 = |a + b|^2 e d2^2 = |a - b|^2
Combinando com o que já mostramos:
d1^2 + d2^2 = 2,(|a|^2 + |b|^2)

Resposta

Portanto, em qualquer paralelogramo com lados medindo |a| e |b|, e diagonais medindo d1 e d2, a igualdade d1^2 + d2^2 = 2(|a|^2 + |b|^2) é válida.

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