Sejam u e v vetores não nulos, e theta o ângulo entre esses vetores.
(a) Use a lei dos cossenos para mostrar que
|u+v|^2=|u|^2+|v|^2+2|u||v| cos theta
|u-v|^2=|u|^2+|v|^2-2|u||v| cos theta
(b) Se |u|=8 e |v|=3 e theta=pi / 3, ache |u+v| e |u-v|
© Estabeleça condições sobre os vetores u e v de modo que
(i) |u+v|^2=|u|^2+|v|^2
(ii) |u+v|=|u|+|v|
(iii) |u-v|^2=|u|^2+|v|^2
(iv) |u-v|=|u|-|v|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre vetores u e v, que não são nulos, e o ângulo theta entre eles. Vamos utilizar a Lei dos Cossenos da geometria para demonstrar algumas relações envolvendo as normas desses vetores. Precisamos lembrar que a Lei dos Cossenos nos ajuda a relacionar os lados de um triângulo com o cosseno do ângulo entre eles, e vamos aplicar isso aos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos abordar a parte (a) do exercício. Queremos mostrar que:
|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2 + 2|u||v| cos theta
e
|u - v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2|u||v| cos theta

Passo 3

Para isso, vamos lembrar que a norma de um vetor a é |a| = raiza cdot a, onde “ cdot” representa o produto escalar. Então, temos:
|u + v|^2 = (u + v) cdot (u + v) = u cdot u + 2u cdot v + v cdot v
Sabemos que u cdot v = |u||v| cos theta pela definição do produto escalar. Substituindo na equação:
|u + v|^2 = |u|^2 + 2|u||v| cos theta + |v|^2
Que é exatamente o que queríamos mostrar para |u + v|^2. A mesma lógica se aplica para |u - v|^2, mas com o sinal do meio invertido:
|u - v|^2 = |u|^2 - 2|u||v| cos theta + |v|^2

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b). Temos que |u| = 8, |v| = 3 e theta = pi/3. Queremos achar |u + v| e |u - v|.

Passo 5

Usando as fórmulas que mostramos na parte (a):
|u + v|^2 = 8^2 + 3^2 + 2 cdot 8 cdot 3 cdot cos(pi/3)
Calculando:
= 64 + 9 + 48 cdot 12 = 73 + 24 = 97
Então, |u + v| = raiz97.
Para |u - v|:
|u - v|^2 = 8^2 + 3^2 - 2 cdot 8 cdot 3 cdot cos(pi/3)
Calculando:
= 64 + 9 - 48 cdot 12 = 73 - 24 = 49
Então, |u - v| = raiz49 = 7.

Passo 6

Agora, vamos para a parte ©, onde precisamos estabelecer condições sobre os vetores u e v para diferentes igualdades envolvendo suas normas.
(i) |u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2

Passo 7

Igualando à fórmula da parte (a):
|u|^2 + |v|^2 + 2|u||v| cos theta = |u|^2 + |v|^2
Cancelando termos iguais:
2|u||v| cos theta = 0
Como |u| e |v| são diferentes de zero, temos que cos theta = 0, o que significa que theta = pi/2. Ou seja, os vetores são perpendiculares.
(ii) |u + v| = |u| + |v|

Passo 8

Elevando ao quadrado ambos os lados:
|u + v|^2 = (|u| + |v|)^2
Usando a fórmula da parte (a):
|u|^2 + |v|^2 + 2|u||v| cos theta = |u|^2 + 2|u||v| + |v|^2
Simplificando:
2|u||v| cos theta = 2|u||v|
Dividindo por 2|u||v|:
cos theta = 1
Isso ocorre quando theta = 0, ou seja, os vetores estão na mesma direção.
(iii) |u - v|^2 = |u|^2 + |v|^2

Passo 9

Usando a fórmula da parte (a) para a norma da diferença:
|u|^2 + |v|^2 - 2|u||v| cos theta = |u|^2 + |v|^2
Cancelando termos iguais:
-2|u||v| cos theta = 0
Novamente, como as normas são diferentes de zero, temos que cos theta = 0, ou seja, theta = pi/2. Os vetores são perpendiculares.
(iv) |u - v| = |u| - |v|

Passo 10

Elevando ao quadrado ambos os lados:
|u - v|^2 = (|u| - |v|)^2
Usando a fórmula:
|u|^2 + |v|^2 - 2|u||v| cos theta = |u|^2 - 2|u||v| + |v|^2
Simplificando:
-2|u||v| cos theta = -2|u||v|
Dividindo por -2|u||v|:
cos theta = 1
Ou seja, theta = 0, então os vetores estão na mesma direção.

Resposta

(a) Demonstramos que:
|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2 + 2|u||v| cos theta
|u - v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2|u||v| cos theta
(b) As normas são |u + v| = raiz97 e |u - v| = 7.
© As condições são:
  • (i) Os vetores são perpendiculares ( theta = pi/2).
  • (ii) Os vetores estão na mesma direção ( theta = 0).
  • (iii) Os vetores são perpendiculares ( theta = pi/2).
  • (iv) Os vetores estão na mesma direção ( theta = 0).

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