Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre vetores e , que não são nulos, e o ângulo entre eles. Vamos utilizar a Lei dos Cossenos da geometria para demonstrar algumas relações envolvendo as normas desses vetores. Precisamos lembrar que a Lei dos Cossenos nos ajuda a relacionar os lados de um triângulo com o cosseno do ângulo entre eles, e vamos aplicar isso aos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos abordar a parte (a) do exercício. Queremos mostrar que:
e
Passo 3
Para isso, vamos lembrar que a norma de um vetor é , onde “” representa o produto escalar. Então, temos:
Sabemos que pela definição do produto escalar. Substituindo na equação:
Que é exatamente o que queríamos mostrar para . A mesma lógica se aplica para , mas com o sinal do meio invertido:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b). Temos que , e . Queremos achar e .