Sejam
e
vetores não nulos, e
o ângulo entre esses vetores.
(a) Use a lei dos cossenos para mostrar que
(b) Se
e
e
, ache
e
© Estabeleça condições sobre os vetores
de modo que
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(a) Use a lei dos cossenos para mostrar que
(b) Se
© Estabeleça condições sobre os vetores
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre vetores
e
, que não são nulos, e o ângulo
entre eles. Vamos utilizar a Lei dos Cossenos da geometria para demonstrar algumas relações envolvendo as normas desses vetores. Precisamos lembrar que a Lei dos Cossenos nos ajuda a relacionar os lados de um triângulo com o cosseno do ângulo entre eles, e vamos aplicar isso aos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos abordar a parte (a) do exercício. Queremos mostrar que:
e
Passo 3
Para isso, vamos lembrar que a norma de um vetor
é
, onde “
” representa o produto escalar. Então, temos:
Sabemos que
pela definição do produto escalar. Substituindo na equação:
Que é exatamente o que queríamos mostrar para
. A mesma lógica se aplica para
, mas com o sinal do meio invertido:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b). Temos que
,
e
. Queremos achar
e
.
Passo 5
Usando as fórmulas que mostramos na parte (a):
Calculando:
Então,
.
Para
:
Calculando:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos para a parte ©, onde precisamos estabelecer condições sobre os vetores
e
para diferentes igualdades envolvendo suas normas.
(i)
Passo 7
Igualando à fórmula da parte (a):
Cancelando termos iguais:
Como
e
são diferentes de zero, temos que
, o que significa que
. Ou seja, os vetores são perpendiculares.
(ii)
Passo 8
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Usando a fórmula da parte (a):
Simplificando:
Dividindo por
:
Isso ocorre quando
, ou seja, os vetores estão na mesma direção.
(iii)
Passo 9
Usando a fórmula da parte (a) para a norma da diferença:
Cancelando termos iguais:
Novamente, como as normas são diferentes de zero, temos que
, ou seja,
. Os vetores são perpendiculares.
(iv)
Passo 10
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Usando a fórmula:
Simplificando:
Dividindo por
:
Ou seja,
, então os vetores estão na mesma direção.
Resposta
(a) Demonstramos que:
(b) As normas são
e
.
© As condições são:
- (i) Os vetores são perpendiculares (
). - (ii) Os vetores estão na mesma direção (
). - (iii) Os vetores são perpendiculares (
). - (iv) Os vetores estão na mesma direção (
).