Sejam e vetores não nulos, e o ângulo entre esses vetores.
(a) Use a lei dos cossenos para mostrar que


(b) Se e e , ache e
© Estabeleça condições sobre os vetores de modo que
(i)
(ii)
(iii)
(iv)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre vetores e , que não são nulos, e o ângulo entre eles. Vamos utilizar a Lei dos Cossenos da geometria para demonstrar algumas relações envolvendo as normas desses vetores. Precisamos lembrar que a Lei dos Cossenos nos ajuda a relacionar os lados de um triângulo com o cosseno do ângulo entre eles, e vamos aplicar isso aos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos abordar a parte (a) do exercício. Queremos mostrar que:
e

Passo 3

Para isso, vamos lembrar que a norma de um vetor é , onde “ ” representa o produto escalar. Então, temos:
Sabemos que pela definição do produto escalar. Substituindo na equação:
Que é exatamente o que queríamos mostrar para . A mesma lógica se aplica para , mas com o sinal do meio invertido:

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b). Temos que , e . Queremos achar e .

Passo 5

Usando as fórmulas que mostramos na parte (a):
Calculando:
Então, .
Para :
Calculando:
Então, .

Passo 6

Agora, vamos para a parte ©, onde precisamos estabelecer condições sobre os vetores e para diferentes igualdades envolvendo suas normas.
(i)

Passo 7

Igualando à fórmula da parte (a):
Cancelando termos iguais:
Como e são diferentes de zero, temos que , o que significa que . Ou seja, os vetores são perpendiculares.
(ii)

Passo 8

Elevando ao quadrado ambos os lados:
Usando a fórmula da parte (a):
Simplificando:
Dividindo por :
Isso ocorre quando , ou seja, os vetores estão na mesma direção.
(iii)

Passo 9

Usando a fórmula da parte (a) para a norma da diferença:
Cancelando termos iguais:
Novamente, como as normas são diferentes de zero, temos que , ou seja, . Os vetores são perpendiculares.
(iv)

Passo 10

Elevando ao quadrado ambos os lados:
Usando a fórmula:
Simplificando:
Dividindo por :
Ou seja, , então os vetores estão na mesma direção.

Resposta

(a) Demonstramos que:
(b) As normas são e .
© As condições são:
  • (i) Os vetores são perpendiculares ( ).
  • (ii) Os vetores estão na mesma direção ( ).
  • (iii) Os vetores são perpendiculares ( ).
  • (iv) Os vetores estão na mesma direção ( ).

Exercícios relacionados

Encontre uma base ortonormal que permita identificar a cônica abaixo e identifique-a:
;
Encontre o vetor , com , colinear(paralelo) e de sentido contrário ao de .
Se e , calcule .
Considere o triângulo . Sejam o ponto de tal que e o ponto do lado tal que . Mostre que os segmentos e se interceptam no ponto tal que e .