Seja M2(R)=(lla & b c & d) ; a, b, c, d in R. Defina lang<= A, Brang<==tr(A B), onde A, B in M2(R) e tr(A B) denota o traço do produto A B. Verifique se lang<= A, Arang<=>0 para toda matriz não nula em M2(R).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. A questão define um produto interno entre duas matrizes e como , onde denota o traço da matriz, ou seja, a soma dos elementos da diagonal principal. Nosso objetivo é verificar se para toda matriz não nula em .

Passo 2

Vamos começar calculando lang<= A, A rang<= = tr(A cdot A) = tr(A^2) . Isso significa que vamos multiplicar a matriz por ela mesma e depois calcular o traço do resultado. Ou seja:
Aqui, representa a matriz multiplicada por ela mesma.

Passo 3

Para que para toda matriz não nula , o traço de precisa ser sempre positivo. Vamos analisar isso. O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal de .

Passo 4

Vamos considerar um exemplo específico de matriz para testar essa condição. Considere a matriz:
A = 0 & 1 -1 & 0
Essa é uma matriz skew-symmetric (ou antisimétrica), ou seja, satisfaz .

Passo 5

Calculando A^2 = 0 & 1 -1 & 0 cdot 0 & 1 -1 & 0 = (0)(0) + (1)(-1) & (0)(1) + (1)(0) (-1)(0) + (0)(-1) & (-1)(1) + (0)(0) = -1 & 0 0 & -1 :
tr(A^2) = (-1) + (-1) = -2
Então,

Passo 6

No exemplo acima, a matriz não é a matriz zero, ou seja, é uma matriz não nula. No entanto, , que é menor que zero. Isso mostra que existe pelo menos uma matriz não nula em para a qual .

Resposta

Não, nem sempre é maior que zero para toda matriz não nula em .

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