Seja
. Defina
, onde
denota o traço do produto
. Verifique se
para toda matriz não nula em
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
, que é o conjunto de todas as matrizes
com entradas reais. A questão define um produto interno entre duas matrizes
e
como
, onde
denota o traço da matriz, ou seja, a soma dos elementos da diagonal principal. Nosso objetivo é verificar se
para toda matriz
não nula em
.
Passo 2
Vamos começar calculando
. Isso significa que vamos multiplicar a matriz
por ela mesma e depois calcular o traço do resultado. Ou seja:
Aqui,
representa a matriz
multiplicada por ela mesma.
Passo 3
Para que
para toda matriz não nula
, o traço de
precisa ser sempre positivo. Vamos analisar isso. O traço de uma matriz
é a soma dos elementos da diagonal principal de
.
Passo 4
Vamos considerar um exemplo específico de matriz para testar essa condição. Considere a matriz:
Essa é uma matriz skew-symmetric (ou antisimétrica), ou seja, satisfaz
.
Passo 5
Calculando
:
Então,
Passo 6
No exemplo acima, a matriz
não é a matriz zero, ou seja, é uma matriz não nula. No entanto,
, que é menor que zero. Isso mostra que existe pelo menos uma matriz não nula em
para a qual
.
Resposta
Não,
nem sempre é maior que zero para toda matriz não nula em
.