Considere o triângulo de vértices A(3,3,3), B(0,1,3) e C(6,15,-3). Determine as equações paramétricas da reta suporte da altura relativa ao lado B C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com os vértices , e . A missão é encontrar as equações paramétricas da reta que representa a altura relativa ao lado .
Matéria envolvida: Geometria Analítica no espaço tridimensional.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é uma altura em um triângulo.
  • Saber como encontrar a equação de uma reta no espaço usando um ponto e um vetor diretor.
  • Utilizar vetores para garantir que a altura seja perpendicular ao lado .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a altura relativa ao lado . Em um triângulo, a altura relativa a um lado é a linha perpendicular a esse lado que passa pelo vértice oposto. Nesse caso, queremos uma reta que seja perpendicular ao lado e passe pelo ponto .

Passo 3

Para encontrar a equação paramétrica da reta da altura, precisamos de dois elementos:
  1. Um ponto pela qual a reta passa. Nós já sabemos que essa reta passa pelo ponto .
  2. Um vetor diretor que seja perpendicular ao vetor que representa o lado .

Passo 4

Vamos determinar o vetor BC = C - B = (6-0, 15-1, -3-3) = (6, 14, -6) . Para isso, subtraímos as coordenadas de de :

Passo 5

Agora, precisamos de um vetor diretor d cdot BC = 0 para a altura, que seja perpendicular a 6a + 14b - 6c = 0 . Além disso, esse vetor deve passar por , significando que a altura estará na direção de .
Para garantir que seja perpendicular a , o produto escalar entre e deve ser zero:
Vamos chamar . Então:

Passo 6

Precisamos de mais uma condição para determinar , , e . Sabemos que a altura passa pelo ponto e intersecta o lado em algum ponto . Para encontrar , vamos parametrizar a reta e encontrar onde a altura se cruza com .

Passo 7

Vamos escrever as equações paramétricas da reta x = 0 + 6t y = 1 + 14t z = 3 - 6t . Tomando como ponto inicial e como vetor diretor, temos:

Passo 8

O ponto na reta pode ser expresso em termos de . Como a altura é perpendicular a , o vetor também será perpendicular a . Então, o vetor .

Passo 9

Vamos impor a condição de perpendicularidade entre AD cdot BC = 0 (6t)(6) + (14t - 2)(14) + (-6t)(-6) = 0 36t + 196t - 28 + 36t = 0 268t - 28 = 0 268t = 28 t = 28268 = 767 e :

Passo 10

Agora, substituímos x = 6 times 767 = 4267 y = 1 + 14 times 767 = 1 + 9867 = 16567 z = 3 - 6 times 767 = 3 - 4267 = 15967 nas equações paramétricas de para encontrar as coordenadas de :
Então, .

Passo 11

Agora que temos os pontos AD = D - A = ( 4267 - 3, 16567 - 3, 15967 - 3 ) = ( 42 - 20167, 165 - 20167, 159 - 20167 ) = ( -15967, -3667, -4267 ) e AD = (-159, -36, -42) , podemos encontrar o vetor diretor da altura AD = (-53, -12, -14) :
Podemos simplificar removendo o denominador comum:
Para simplificar ainda mais, podemos dividir por 3:

Passo 12

Agora, temos o ponto x = 3 - 53lambda y = 3 - 12lambda z = 3 - 14lambda e o vetor diretor . As equações paramétricas da reta da altura são então:
onde é o parâmetro.

Resposta

As equações paramétricas da reta suporte da altura relativa ao lado x = 3 - 53lambda y = 3 - 12lambda z = 3 - 14lambda são:

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