Considere o triângulo de vértices
e
. Determine as equações paramétricas da reta suporte da altura relativa ao lado
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com os vértices
,
e
. A missão é encontrar as equações paramétricas da reta que representa a altura relativa ao lado
.
Matéria envolvida: Geometria Analítica no espaço tridimensional.
O que vamos precisar:
- Entender o que é uma altura em um triângulo.
- Saber como encontrar a equação de uma reta no espaço usando um ponto e um vetor diretor.
- Utilizar vetores para garantir que a altura seja perpendicular ao lado
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a altura relativa ao lado
. Em um triângulo, a altura relativa a um lado é a linha perpendicular a esse lado que passa pelo vértice oposto. Nesse caso, queremos uma reta que seja perpendicular ao lado
e passe pelo ponto
.
Passo 3
Para encontrar a equação paramétrica da reta da altura, precisamos de dois elementos:
- Um ponto pela qual a reta passa. Nós já sabemos que essa reta passa pelo ponto
. - Um vetor diretor que seja perpendicular ao vetor que representa o lado
.
Passo 4
Vamos determinar o vetor
. Para isso, subtraímos as coordenadas de
de
:
Passo 5
Agora, precisamos de um vetor diretor
para a altura, que seja perpendicular a
. Além disso, esse vetor
deve passar por
, significando que a altura estará na direção de
.
Para garantir que
seja perpendicular a
, o produto escalar entre
e
deve ser zero:
Vamos chamar
. Então:
Passo 6
Precisamos de mais uma condição para determinar
,
, e
. Sabemos que a altura passa pelo ponto
e intersecta o lado
em algum ponto
. Para encontrar
, vamos parametrizar a reta
e encontrar onde a altura se cruza com
.
Passo 7
Vamos escrever as equações paramétricas da reta
. Tomando
como ponto inicial e
como vetor diretor, temos:
Passo 8
O ponto
na reta
pode ser expresso em termos de
. Como a altura é perpendicular a
, o vetor
também será perpendicular a
. Então, o vetor
.
Passo 9
Vamos impor a condição de perpendicularidade entre
e
:
Passo 10
Agora, substituímos
nas equações paramétricas de
para encontrar as coordenadas de
:
Então,
.
Passo 11
Agora que temos os pontos
e
, podemos encontrar o vetor diretor da altura
:
Podemos simplificar removendo o denominador comum:
Para simplificar ainda mais, podemos dividir por 3:
Passo 12
Agora, temos o ponto
e o vetor diretor
. As equações paramétricas da reta da altura são então:
onde
é o parâmetro.
Resposta
As equações paramétricas da reta suporte da altura relativa ao lado
são: