Considere o triângulo de vértices e . Determine as equações paramétricas da reta suporte da altura relativa ao lado .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com os vértices , e . A missão é encontrar as equações paramétricas da reta que representa a altura relativa ao lado .
Matéria envolvida: Geometria Analítica no espaço tridimensional.
O que vamos precisar:
Entender o que é uma altura em um triângulo.
Saber como encontrar a equação de uma reta no espaço usando um ponto e um vetor diretor.
Utilizar vetores para garantir que a altura seja perpendicular ao lado .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a altura relativa ao lado . Em um triângulo, a altura relativa a um lado é a linha perpendicular a esse lado que passa pelo vértice oposto. Nesse caso, queremos uma reta que seja perpendicular ao lado e passe pelo ponto .
Passo 3
Para encontrar a equação paramétrica da reta da altura, precisamos de dois elementos:
Um ponto pela qual a reta passa. Nós já sabemos que essa reta passa pelo ponto .
Um vetor diretor que seja perpendicular ao vetor que representa o lado .
Passo 4
Vamos determinar o vetor . Para isso, subtraímos as coordenadas de de :
Passo 5
Agora, precisamos de um vetor diretor para a altura, que seja perpendicular a . Além disso, esse vetor deve passar por , significando que a altura estará na direção de .
Para garantir que seja perpendicular a , o produto escalar entre e deve ser zero:
Vamos chamar . Então:
Passo 6
Precisamos de mais uma condição para determinar , , e . Sabemos que a altura passa pelo ponto e intersecta o lado em algum ponto . Para encontrar , vamos parametrizar a reta e encontrar onde a altura se cruza com .
Passo 7
Vamos escrever as equações paramétricas da reta . Tomando como ponto inicial e como vetor diretor, temos:
Passo 8
O ponto na reta pode ser expresso em termos de . Como a altura é perpendicular a , o vetor também será perpendicular a . Então, o vetor .
Passo 9
Vamos impor a condição de perpendicularidade entre e :
Passo 10
Agora, substituímos nas equações paramétricas de para encontrar as coordenadas de :
Então, .
Passo 11
Agora que temos os pontos e , podemos encontrar o vetor diretor da altura :
Podemos simplificar removendo o denominador comum:
Para simplificar ainda mais, podemos dividir por 3:
Passo 12
Agora, temos o ponto e o vetor diretor . As equações paramétricas da reta da altura são então:
onde é o parâmetro.
Resposta
As equações paramétricas da reta suporte da altura relativa ao lado são: