Considere o triângulo de vértices e . Determine as equações paramétricas da reta suporte da altura relativa ao lado .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com os vértices , e . A missão é encontrar as equações paramétricas da reta que representa a altura relativa ao lado .
Matéria envolvida: Geometria Analítica no espaço tridimensional.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é uma altura em um triângulo.
  • Saber como encontrar a equação de uma reta no espaço usando um ponto e um vetor diretor.
  • Utilizar vetores para garantir que a altura seja perpendicular ao lado .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a altura relativa ao lado . Em um triângulo, a altura relativa a um lado é a linha perpendicular a esse lado que passa pelo vértice oposto. Nesse caso, queremos uma reta que seja perpendicular ao lado e passe pelo ponto .

Passo 3

Para encontrar a equação paramétrica da reta da altura, precisamos de dois elementos:
  1. Um ponto pela qual a reta passa. Nós já sabemos que essa reta passa pelo ponto .
  2. Um vetor diretor que seja perpendicular ao vetor que representa o lado .

Passo 4

Vamos determinar o vetor . Para isso, subtraímos as coordenadas de de :

Passo 5

Agora, precisamos de um vetor diretor para a altura, que seja perpendicular a . Além disso, esse vetor deve passar por , significando que a altura estará na direção de .
Para garantir que seja perpendicular a , o produto escalar entre e deve ser zero:
Vamos chamar . Então:

Passo 6

Precisamos de mais uma condição para determinar , , e . Sabemos que a altura passa pelo ponto e intersecta o lado em algum ponto . Para encontrar , vamos parametrizar a reta e encontrar onde a altura se cruza com .

Passo 7

Vamos escrever as equações paramétricas da reta . Tomando como ponto inicial e como vetor diretor, temos:

Passo 8

O ponto na reta pode ser expresso em termos de . Como a altura é perpendicular a , o vetor também será perpendicular a . Então, o vetor .

Passo 9

Vamos impor a condição de perpendicularidade entre e :

Passo 10

Agora, substituímos nas equações paramétricas de para encontrar as coordenadas de :
Então, .

Passo 11

Agora que temos os pontos e , podemos encontrar o vetor diretor da altura :
Podemos simplificar removendo o denominador comum:
Para simplificar ainda mais, podemos dividir por 3:

Passo 12

Agora, temos o ponto e o vetor diretor . As equações paramétricas da reta da altura são então:
onde é o parâmetro.

Resposta

As equações paramétricas da reta suporte da altura relativa ao lado são:

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