Determine a posição relativa das retas r1 e r2.
57. r1: x=1+7 t, y=3+t, z=5-3 t
r2: x=4-s, y=6, z=7+2 s

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir como as duas retas e estão posicionadas uma em relação à outra no espaço. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente no estudo das retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar das equações paramétricas das retas e entender conceitos como vetores direcionais e soluções de sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das duas retas de forma mais clara:
  • Reta x = 1 + 7t y = 3 + t z = 5 - 3t :
    x = 4 - s y = 6 z = 7 + 2s
    Aqui, é o parâmetro da reta .
  • Reta :
    Aqui, é o parâmetro da reta .

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores direcionais de cada reta. O vetor direcional mostra a “direção” em que a reta aponta.
  • Para d1 = 7 1 -3 , olhando nos coeficientes de d2 = -1 0 2 :
  • Para , olhando nos coeficientes de :
Vamos verificar se as retas são paralelas. Duas retas são paralelas se seus vetores direcionais são múltiplos um do outro.

Passo 4

Para ver se 7 = -k 1 = 0 cdot k -3 = 2k e são múltiplos, vamos ver se existe um número tal que:
Da primeira equação, . Mas na segunda, , o que não dá certo. Então, não existe um único que satisfaça todas as equações. Portanto, as retas não são paralelas.

Passo 5

Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se interceptam, ou seja, se existe um ponto que pertence às duas retas. Para isso, vamos igualar as coordenadas e resolver o sistema de equações para 1 + 7t = 4 - s 3 + t = 6 5 - 3t = 7 + 2s e 3 + t = 6 Rightarrow t = 3 .
Igualando as coordenadas:
1 + 7 cdot 3 = 4 - s Rightarrow 22 = 4 - s Rightarrow s = -18
Vamos resolver a segunda equação primeiro:
5 - 3 cdot 3 = 7 + 2 cdot (-18) Rightarrow 5 - 9 = 7 - 36 Rightarrow -4 = -29
Substituindo na primeira equação:
Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
Isso não é verdade. Portanto, não existe um ponto que pertence às duas retas.

Resposta

As retas e são não paralelas e não se interceptam, ou seja, são retas não paralelas e não coincidentes (isométricas).

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