Determine a posição relativa das retas e .
57.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir como as duas retas e estão posicionadas uma em relação à outra no espaço. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente no estudo das retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar das equações paramétricas das retas e entender conceitos como vetores direcionais e soluções de sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das duas retas de forma mais clara:
  • Reta :
    Aqui, é o parâmetro da reta .
  • Reta :
    Aqui, é o parâmetro da reta .

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores direcionais de cada reta. O vetor direcional mostra a “direção” em que a reta aponta.
  • Para , olhando nos coeficientes de :
  • Para , olhando nos coeficientes de :
Vamos verificar se as retas são paralelas. Duas retas são paralelas se seus vetores direcionais são múltiplos um do outro.

Passo 4

Para ver se e são múltiplos, vamos ver se existe um número tal que:
Da primeira equação, . Mas na segunda, , o que não dá certo. Então, não existe um único que satisfaça todas as equações. Portanto, as retas não são paralelas.

Passo 5

Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se interceptam, ou seja, se existe um ponto que pertence às duas retas. Para isso, vamos igualar as coordenadas e resolver o sistema de equações para e .
Igualando as coordenadas:
Vamos resolver a segunda equação primeiro:
Substituindo na primeira equação:
Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
Isso não é verdade. Portanto, não existe um ponto que pertence às duas retas.

Resposta

As retas e são não paralelas e não se interceptam, ou seja, são retas não paralelas e não coincidentes (isométricas).

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Encontre a intersecção da reta com os planos e .
Suponha que e sejam vetores com e . Seja , e assim por diante. Calcule .
Considere o triângulo de vértices e . Determine as equações paramétricas da reta suporte da altura relativa ao lado .
Determine a posição relativa das retas e .
60.