Determine a posição relativa das retas e .
60.

Passo 1

Beleza! A gente tem um exercício que pede para determinar a posição relativa das retas e . Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica no espaço. Para resolver isso, vamos precisar analisar as equações paramétricas das duas retas e verificar se elas são paralelas, coincidentes, se se interceptam ou se são skews (retas que não se intersectam e não são paralelas).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . Nas equações paramétricas, os coeficientes de e correspondem aos vetores diretores.
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas. Para isso, os vetores diretores devem ser proporcionais, ou seja, existe um número tal que:
Vamos comparar os componentes:
Resolvendo a segunda equação:
Verificando a primeira equação:
Como não existe um único que satisfaça todas as equações, as retas não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se intersectam. Para isso, precisamos encontrar valores de e que satisfaçam as equações:
Vamos resolver o sistema de equações.

Passo 5

Resolvendo a equação (1):
Substituindo na equação (2):
Agora, substituímos na equação (4):

Passo 6

Vamos verificar se esses valores satisfazem a equação (3):
Como encontramos valores de e que satisfazem todas as equações, as retas se intersectam.

Resposta

As retas e se interceptam, ou seja, elas se cruzam em um ponto no espaço.

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Determine a posição relativa das retas e .
57.
Determine uma equação do plano nos casos citados.
64. c) que passa pelos pontos e .
Determine uma equação do plano nos seguintes casos:
65. e) determinado pelo ponto e pela reta .