Beleza! A gente tem um exercício que pede para determinar a posição relativa das retas e . Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica no espaço. Para resolver isso, vamos precisar analisar as equações paramétricas das duas retas e verificar se elas são paralelas, coincidentes, se se interceptam ou se são skews (retas que não se intersectam e não são paralelas).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . Nas equações paramétricas, os coeficientes de e correspondem aos vetores diretores.
Para :
Para :
Passo 3
Agora, vamos verificar se as retas são paralelas. Para isso, os vetores diretores devem ser proporcionais, ou seja, existe um número d1 = k cdot d2 tal que:
1 = 4k -2 = -k 3 = 2k
Vamos comparar os componentes:
-2 = -k implies k = 2
Resolvendo a segunda equação:
1 = 4 cdot 2 implies 1 = 8 (Falso)
Verificando a primeira equação:
Como não existe um único que satisfaça todas as equações, as retas não são paralelas.
Passo 4
Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se intersectam. Para isso, precisamos encontrar valores de 2 + t = -1 + 4s (1) 4 - 2t = 3 - s (2) 1 + 3t = 2 + 2s (3) e que satisfaçam as equações:
Vamos resolver o sistema de equações.
Passo 5
Resolvendo a equação (1):
2 + t = -1 + 4s t = -3 + 4s (4)
Substituindo 4 - 2(-3 + 4s) = 3 - s 4 + 6 - 8s = 3 - s 10 - 8s = 3 - s 10 - 3 = 8s - s 7 = 7s s = 1 na equação (2):
t = -3 + 4(1) t = 1
Agora, substituímos na equação (4):
Passo 6
Vamos verificar se esses valores satisfazem a equação (3):
1 + 3(1) = 2 + 2(1) 4 = 4 (Verdadeiro)
Como encontramos valores de e que satisfazem todas as equações, as retas se intersectam.
Resposta
As retas e se interceptam, ou seja, elas se cruzam em um ponto no espaço.