Determine a posição relativa das retas r1 e r2.
60. r1: x=2+t, y=4-2 t, z=1+3 t
r2: x=-1+4 s, y=3-s, z=2+2 s

Passo 1

Beleza! A gente tem um exercício que pede para determinar a posição relativa das retas e . Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica no espaço. Para resolver isso, vamos precisar analisar as equações paramétricas das duas retas e verificar se elas são paralelas, coincidentes, se se interceptam ou se são skews (retas que não se intersectam e não são paralelas).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas d1 = 1 -2 3 e d2 = 4 -1 2 . Nas equações paramétricas, os coeficientes de e correspondem aos vetores diretores.
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas. Para isso, os vetores diretores devem ser proporcionais, ou seja, existe um número d1 = k cdot d2 tal que:
1 = 4k -2 = -k 3 = 2k
Vamos comparar os componentes:
-2 = -k implies k = 2
Resolvendo a segunda equação:
1 = 4 cdot 2 implies 1 = 8 (Falso)
Verificando a primeira equação:
Como não existe um único que satisfaça todas as equações, as retas não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se intersectam. Para isso, precisamos encontrar valores de 2 + t = -1 + 4s (1) 4 - 2t = 3 - s (2) 1 + 3t = 2 + 2s (3) e que satisfaçam as equações:
Vamos resolver o sistema de equações.

Passo 5

Resolvendo a equação (1):
2 + t = -1 + 4s t = -3 + 4s (4)
Substituindo 4 - 2(-3 + 4s) = 3 - s 4 + 6 - 8s = 3 - s 10 - 8s = 3 - s 10 - 3 = 8s - s 7 = 7s s = 1 na equação (2):
t = -3 + 4(1) t = 1
Agora, substituímos na equação (4):

Passo 6

Vamos verificar se esses valores satisfazem a equação (3):
1 + 3(1) = 2 + 2(1) 4 = 4 (Verdadeiro)
Como encontramos valores de e que satisfazem todas as equações, as retas se intersectam.

Resposta

As retas e se interceptam, ou seja, elas se cruzam em um ponto no espaço.

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