Encontre a intersecção da reta x=-2, y=4+2 t, z=-3+t com os planos x y e x z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar onde a reta definida por , e cruza os planos e . A matéria aqui envolve geometria analítica, especificamente a interseção de retas com planos. Para resolver, vamos precisar entender como representam as equações dos planos e como encontrar o ponto onde a reta e o plano se encontram.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a interseção da reta com o plano z = -3 + t . No plano -3 + t = 0 implies t = 3 , a coordenada x = -2 sempre é zero. Então, vamos igualar y = 4 + 2t = 4 + 2(3) = 4 + 6 = 10 a zero na equação da reta e resolver para .
A equação da reta para é:
Igualando a zero:
Agora que temos , substituímos esse valor nas equações de e para encontrar as coordenadas do ponto de interseção.
Para :
Para :
Então, o ponto de interseção com o plano é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde a reta cruza o plano y = 4 + 2t . No plano 4 + 2t = 0 implies 2t = -4 implies t = -2 , a coordenada x = -2 sempre é zero. Então, vamos igualar z = -3 + t = -3 + (-2) = -5 a zero na equação da reta e resolver para .
A equação da reta para é:
Igualando a zero:
Com , substituímos esse valor nas equações de e para achar as coordenadas do ponto de interseção.
Para :
Para :
Então, o ponto de interseção com o plano é .

Resposta

A reta , , intersecta o plano no ponto e o plano no ponto .

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