Determine uma equação do plano nos casos citados.
64. c) que passa pelos pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão aqui pede para determinarmos a equação de um plano que passa pelos pontos , e . Vamos usar conceitos de geometria analítica para chegar nessa equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para encontrar a equação de um plano no espaço tridimensional, a gente precisa de um ponto que pertence ao plano e um vetor normal a ele. Como temos três pontos, vamos usar dois deles para criar vetores dentro do plano e, a partir desses, encontrar o vetor normal.

Passo 3

Vamos começar encontrando dois vetores que estão no plano. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:
  • Vetor
  • Vetor
Esses vetores e estão no plano que queremos encontrar.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores e . Para isso, usamos o produto vetorial desses dois vetores:
Vamos calcular esse produto:
Simplificando:
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 5:

Passo 5

Com o vetor normal e sabendo que o ponto pertence ao plano, podemos usar a equação geral do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto dado.
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano é:

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Determine uma equação do plano nos seguintes casos:
65. e) determinado pelo ponto e pela reta .
Determine a distância do ponto à reta determinada pelos pontos e .