Considere o triângulo de vértices A=(0,1,2), B=(1,1,3) e C=(1,3,4). Calcule a medida da altura relativa ao lado B C.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um triângulo com os vértices , e . O que a gente precisa encontrar é a altura relativa ao lado . Isso está relacionado a geometria no espaço tridimensional, então vamos precisar usar conceitos de vetores e distâncias no espaço 3D.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a altura relativa a um lado de um triângulo. A altura é a distância perpendicular de um vértice ao lado oposto. Aqui, queremos a distância do vértice ao lado .

Passo 3

Para encontrar essa distância, podemos usar a fórmula da área do triângulo no espaço tridimensional e relacioná-la com a base S = 12 | AB times AC | . A fórmula da área de um triângulo com vértices , e é dada por:
onde representa o produto vetorial e é a norma do vetor resultante.

Passo 4

Vamos calcular os vetores AB = B - A = (1-0, 1-1, 3-2) = (1, 0, 1) e AC = C - A = (1-0, 3-1, 4-2) = (1, 2, 2) :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial AB times AC = i & j & k 1 & 0 & 1 1 & 2 & 2 = i(0 cdot 2 - 1 cdot 2) - j(1 cdot 2 - 1 cdot 2) + k(1 cdot 2 - 0 cdot 1) :
= i(-2) - j(0) + k(2) = (-2, 0, 2)

Passo 6

A norma desse vetor é:
| AB times AC | = raiz(-2)^2 + 0^2 + 2^2 = raiz4 + 0 + 4 = raiz8 = 2raiz2
Portanto, a área do triângulo é:
S = 12 times 2raiz2 = raiz2

Passo 7

Agora, para encontrar a altura S = 12 times base times a relativa à base h = 2Sbase , usamos a relação entre área, base e altura:
Então:

Passo 8

Primeiro, vamos encontrar a length do lado BC = raiz(1-1)^2 + (3-1)^2 + (4-3)^2 = raiz0 + 4 + 1 = raiz5 . Calculamos a distância entre os pontos e :

Passo 9

Agora, substituímos os valores na fórmula da altura:
h = 2 times raiz2raiz5 = 2raiz2raiz5 = 2raiz2 times raiz55 = 2raiz105

Resposta

A medida da altura relativa ao lado é .

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