Considere o triângulo de vértices e . Calcule a medida da altura relativa ao lado .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um triângulo com os vértices , e . O que a gente precisa encontrar é a altura relativa ao lado . Isso está relacionado a geometria no espaço tridimensional, então vamos precisar usar conceitos de vetores e distâncias no espaço 3D.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a altura relativa a um lado de um triângulo. A altura é a distância perpendicular de um vértice ao lado oposto. Aqui, queremos a distância do vértice ao lado .
Passo 3
Para encontrar essa distância, podemos usar a fórmula da área do triângulo no espaço tridimensional e relacioná-la com a base . A fórmula da área de um triângulo com vértices , e é dada por:
onde representa o produto vetorial e é a norma do vetor resultante.
Passo 4
Vamos calcular os vetores e :
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Passo 6
A norma desse vetor é:
| AB times AC | = raiz(-2)^2 + 0^2 + 2^2 = raiz4 + 0 + 4 = raiz8 = 2raiz2
Portanto, a área do triângulo é:
S = 12 times 2raiz2 = raiz2
Passo 7
Agora, para encontrar a altura S = 12 times base times a relativa à base h = 2Sbase , usamos a relação entre área, base e altura:
Então:
Passo 8
Primeiro, vamos encontrar a length do lado BC = raiz(1-1)^2 + (3-1)^2 + (4-3)^2 = raiz0 + 4 + 1 = raiz5 . Calculamos a distância entre os pontos e :
Passo 9
Agora, substituímos os valores na fórmula da altura:
h = 2 times raiz2raiz5 = 2raiz2raiz5 = 2raiz2 times raiz55 = 2raiz105