Responder o que é pedido justificando sua resposta.
Encontre o valor de tal que o vetor tenho módulo 3 . Supondo que as coordenadas de A=(2 a, 0,3) e B=(1, a,-1)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente encontre o valor de de forma que o módulo (ou comprimento) do vetor seja igual a 3. Estamos lidando com coordenadas espaciais, então vamos usar conceitos de vetores e cálculo de magnitude.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos pontos e :
O vetor é dado por . Então, vamos calcular as componentes desse vetor.
Passo 3
Calculando as componentes do vetor AB = B - A = (1 - 2a,; a - 0,; -1 - 3) = (1 - 2a,; a,; -4) :
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo do vetor |AB| = raizx^2 + y^2 + z^2 . A fórmula para o módulo de um vetor |AB| = raiz(1 - 2a)^2 + a^2 + (-4)^2 é:
|AB| = raiz(1 - 2a)^2 + a^2 + 16
Aplicando isso ao nosso vetor:
Simplificando:
Passo 5
Sabemos que o módulo deve ser igual a 3. Então, igualamos a expressão a 3 e resolvemos para raiz(1 - 2a)^2 + a^2 + 16 = 3 :
(1 - 2a)^2 + a^2 + 16 = 9
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 6
Vamos expandir o termo (1 - 2a)^2 = 1 - 4a + 4a^2 :
1 - 4a + 4a^2 + a^2 + 16 = 9
Substituindo na equação:
5a^2 - 4a + 17 = 9
Somando os termos semelhantes:
5a^2 - 4a + 8 = 0
Subtraindo 9 de ambos os lados:
Passo 7
Agora, temos uma equação quadrática na forma 5a^2 - 4a + 8 = 0 :
De
Vamos calcular o discriminante para verificar se há soluções reais:
Como o discriminante é negativo, não há soluções reais para .
Resposta
Não existe nenhum valor real de que faça com que o módulo do vetor seja igual a 3.