Defina uma transformação linear cujo núcleo seja a reta e cuja imagem seja a reta .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear. A gente precisa definir uma transformação linear que tem como núcleo a reta e a imagem a reta . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como eles se relacionam com as matrizes que representam essas transformações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, ou kernel, de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Matematicamente, . No nosso caso, sabemos que é a reta , ou seja, todos os vetores da forma .

Passo 3

Agora, vamos pensar na imagem da transformação linear , denotada por . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando em vetores de . Ou seja, . No exercício, a imagem é a reta , o que significa que todo vetor na imagem tem a forma .

Passo 4

Para encontrar a transformação linear , vamos procurar uma matriz que representa tal que:
  1. Se está no núcleo, então .
  2. A imagem de deve ser a reta .
Vamos parametrizar a matriz como:

Passo 5

Primeiro, vamos usar a condição do núcleo. Para qualquer vetor , temos:
Isso nos dá as equações:
Como isso deve ser válido para todo , temos:

Passo 6

Agora, vamos considerar a imagem da transformação. A imagem de é a reta , o que significa que as colunas de devem ser múltiplos uns dos outros e seguir a relação . Ou seja, se a primeira coluna é , a segunda coluna deve ser para algum escalar , e deve satisfazer .
Além disso, sabemos que , já que . Substituindo na equação , temos .

Passo 7

Agora, vamos escolher para simplificar (podemos escolher qualquer valor não nulo para ). Então, e , .
Portanto, a matriz que representa a transformação linear é:

Resposta

A transformação linear é representada pela matriz

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