Defina uma transformação linear
cujo núcleo seja a reta
e cuja imagem seja a reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear. A gente precisa definir uma transformação linear
que tem como núcleo a reta
e a imagem a reta
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como eles se relacionam com as matrizes que representam essas transformações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, ou kernel, de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Matematicamente,
. No nosso caso, sabemos que
é a reta
, ou seja, todos os vetores da forma
.
Passo 3
Agora, vamos pensar na imagem da transformação linear
, denotada por
. A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
em vetores de
. Ou seja,
. No exercício, a imagem é a reta
, o que significa que todo vetor na imagem tem a forma
.
Passo 4
Para encontrar a transformação linear
, vamos procurar uma matriz
que representa
tal que:
- Se
está no núcleo, então . - A imagem de
deve ser a reta .
Vamos parametrizar a matriz
como:
Passo 5
Primeiro, vamos usar a condição do núcleo. Para qualquer vetor
, temos:
Isso nos dá as equações:
Como isso deve ser válido para todo
, temos:
Passo 6
Agora, vamos considerar a imagem da transformação. A imagem de
é a reta
, o que significa que as colunas de
devem ser múltiplos uns dos outros e seguir a relação
. Ou seja, se a primeira coluna é
, a segunda coluna deve ser
para algum escalar
, e deve satisfazer
.
Além disso, sabemos que
, já que
. Substituindo
na equação
, temos
.
Passo 7
Agora, vamos escolher
para simplificar (podemos escolher qualquer valor não nulo para
). Então,
e
,
.
Portanto, a matriz
que representa a transformação linear
é:
Resposta
A transformação linear
é representada pela matriz
Exercícios relacionados
Calcule a distância entre o ponto
e o plano
.
Nos problemas 16 a 19 são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas: Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justificar.
Verifique se os vetores são coplanares
Considere o triângulo de vértices
e
. Calcule a medida da altura relativa ao lado
.