Considere o triângulo de vértices A=(0,0), B=(3,0) e C=(0,4). Responda da cada um dos itens abaixo:
(a) determine a reta que passa pelo ponto A e pelo ponto médio do lado B C;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Geometria Analítica. A gente tem um triângulo com vértices nos pontos A=(0,0), B=(3,0) e C=(0,4). A tarefa é encontrar a equação da reta que passa pelo ponto A e pelo ponto médio do lado BC. Para isso, vamos precisar saber como encontrar o ponto médio entre dois pontos e como determinar a equação de uma reta a partir de dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio do lado BC. O ponto médio M entre dois pontos B(x1, y1) e C(x2, y2) é dado pela fórmula:
M( x1 + x22, y1 + y22 )
Aqui, B=(3,0) e C=(0,4). Vamos aplicar a fórmula:
M( 3 + 02, 0 + 42 ) = M( 32, 42 ) = M( 1.5, 2 )
Então, o ponto médio M do lado BC é (1.5, 2).

Passo 3

Agora que temos os dois pontos pelos quais a reta deve passar: A(0,0) e M(1.5, 2), vamos encontrar a equação dessa reta. Para isso, vamos usar a forma da equação da reta que passa por dois pontos, que é:
y - y1 = m(x - x1)
Onde m é o coeficiente angular (inclinação) da reta, dado por:
m = y2 - y1x2 - x1
Vamos calcular m usando os pontos A(0,0) e M(1.5, 2):
m = 2 - 01.5 - 0 = 21.5 = 43

Passo 4

Com o coeficiente angular m = 43 e sabendo que a reta passa pelo ponto A(0,0), podemos usar a fórmula da reta:
y - 0 = 43(x - 0)
Simplificando:
y = 43x

Resposta

A equação da reta que passa pelo ponto A e pelo ponto médio do lado BC é:
y = 43x

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