Determine uma equação reduzida, o centro, os focos, os vértices e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboce o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a equação reduzida, o centro, os focos, os vértices e as equações das assíntotas da hipérbole dada pela equação
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre hipérboles.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. Isso envolve completar o quadrado nos termos de
e
. Vamos reorganizar a equação:
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Agora, vamos completar o quadrado para o termo de
:
Para completar o quadrado, tomamos a metade do coeficiente de
(que é -2), quadramos isso (resultando em 1), e adicionamos e subtraímos dentro do parêntese:
Simplificando:
Agora, movemos o -9 para o outro lado:
Para deixar a equação na forma padrão, dividimos todos os termos por 52:
Simplificando as frações:
Então, a equação reduzida da hipérbole é:
Passo 3
Identificando o centro da hipérbole, que é o ponto
na equação padrão
. No nosso caso, temos:
Então, o centro da hipérbole é em
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de
e
:
Os vértices estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo principal (no eixo
, já que o termo
está positivo). Então, os vértices são:
Passo 5
Para encontrar os focos, precisamos calcular
, onde
:
Os focos estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo principal:
Passo 6
As equações das assíntotas de uma hipérbole na forma
são dadas por:
Substituindo os valores que temos:
Então, as equações das assíntotas são:
Resposta
A hipérbole dada tem:
-
Equação reduzida:
-
Centro:
-
Vértices:
e -
Focos:
e -
Equações das assíntotas:
O esboço do gráfico apresentaria a hipérbole centralizada em
, abrindo-se horizontalmente, com os vértices e focos nas posições encontradas, e as assíntotas como linhas que a hipérbole se aproxima sem nunca tocar.