Determine uma equação reduzida, o centro, os focos, os vértices e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboce o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a equação reduzida, o centro, os focos, os vértices e as equações das assíntotas da hipérbole dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. Isso envolve completar o quadrado nos termos de e . Vamos reorganizar a equação:
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Agora, vamos completar o quadrado para o termo de :
Para completar o quadrado, tomamos a metade do coeficiente de (que é -2), quadramos isso (resultando em 1), e adicionamos e subtraímos dentro do parêntese:
Simplificando:
Agora, movemos o -9 para o outro lado:
Para deixar a equação na forma padrão, dividimos todos os termos por 52:
Simplificando as frações:
Então, a equação reduzida da hipérbole é:

Passo 3

Identificando o centro da hipérbole, que é o ponto na equação padrão . No nosso caso, temos:
Então, o centro da hipérbole é em .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de e :
Os vértices estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo principal (no eixo , já que o termo está positivo). Então, os vértices são:

Passo 5

Para encontrar os focos, precisamos calcular , onde :
Os focos estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo principal:

Passo 6

As equações das assíntotas de uma hipérbole na forma são dadas por:
Substituindo os valores que temos:
Então, as equações das assíntotas são:

Resposta

A hipérbole dada tem:
  • Equação reduzida:
  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Equações das assíntotas:
O esboço do gráfico apresentaria a hipérbole centralizada em , abrindo-se horizontalmente, com os vértices e focos nas posições encontradas, e as assíntotas como linhas que a hipérbole se aproxima sem nunca tocar.

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Dados os pontos e ache a equação geral da reta que passa por e pelo ponto médio de .
Divida em três partes iguais o segmento de extremidades e .
Considere o triângulo de vértices e . Responda da cada um dos itens abaixo:
(a) determine a reta que passa pelo ponto e pelo ponto médio do lado ;
Suponha que o ponto divide o segmento de extremidades e , na razão . Sendo assim, responda a cada um dos itens abaixo:
(b) interprete geometricamente.