Determine uma equação reduzida, o centro, os focos, os vértices e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboce o gráfico. 9 x^2-4 y^2-18 x-43=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a equação reduzida, o centro, os focos, os vértices e as equações das assíntotas da hipérbole dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. Isso envolve completar o quadrado nos termos de 9x^2 - 18x - 4y^2 - 43 = 0 e 9x^2 - 18x - 4y^2 = 43 . Vamos reorganizar a equação:
9(x^2 - 2x) - 4y^2 = 43
Vamos agrupar os termos semelhantes:
9[(x^2 - 2x + 1) - 1] - 4y^2 = 43
Agora, vamos completar o quadrado para o termo de 9(x - 1)^2 - 9 - 4y^2 = 43 :
9(x - 1)^2 - 4y^2 = 52
Para completar o quadrado, tomamos a metade do coeficiente de (x - 1)^2529 - y^2524 = 1 (que é -2), quadramos isso (resultando em 1), e adicionamos e subtraímos dentro do parêntese:
(x - 1)^2529 - y^213 = 1
Simplificando:
(x - 1)^2529 - y^213 = 1
Agora, movemos o -9 para o outro lado:
Para deixar a equação na forma padrão, dividimos todos os termos por 52:
Simplificando as frações:
Então, a equação reduzida da hipérbole é:

Passo 3

Identificando o centro da hipérbole, que é o ponto h = 1 e k = 0 na equação padrão . No nosso caso, temos:
Então, o centro da hipérbole é em .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de a^2 = 529 Rightarrow a = raiz523 = 2raiz133 e b^2 = 13 Rightarrow b = raiz13 :
(h - a, k) = (1 - 2raiz133, 0)
(h + a, k) = (1 + 2raiz133, 0)
Os vértices estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo principal (no eixo , já que o termo está positivo). Então, os vértices são:

Passo 5

Para encontrar os focos, precisamos calcular c^2 = 529 + 13 = 529 + 1179 = 1699 Rightarrow c = 133 , onde (h - c, k) = (1 - 133, 0) = (-103, 0) :
(h + c, k) = (1 + 133, 0) = (163, 0)
Os focos estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo principal:

Passo 6

As equações das assíntotas de uma hipérbole na forma y = k pm ba(x - h) são dadas por:
y = 0 pm raiz132raiz133(x - 1) = pm 32(x - 1)
Substituindo os valores que temos:
y = 32(x - 1) e y = -32(x - 1)
Então, as equações das assíntotas são:

Resposta

A hipérbole dada tem:
  • Equação reduzida: y = 32(x - 1)
  • Centro: y = -32(x - 1)
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Equações das assíntotas:
O esboço do gráfico apresentaria a hipérbole centralizada em , abrindo-se horizontalmente, com os vértices e focos nas posições encontradas, e as assíntotas como linhas que a hipérbole se aproxima sem nunca tocar.

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