Considere o trinômio , onde são reais quaisquer e . Mostre que
Para mostre que atinge um máximo e diga qual é o ponto de máximo.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um trinômio do segundo grau da forma , onde , e são números reais e não é zero. A primeira parte do exercício quer que a gente reescreva essa função de uma maneira diferente, completando o quadrado. Na segunda parte, se for negativo, a gente precisa mostrar que a função alcança um valor máximo e identificar onde esse máximo acontece.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a função para completar o quadrado. Completar o quadrado é uma técnica que transforma a equação quadrática em uma forma mais simples, onde podemos identificar facilmente o vértice da parábola representada pela função.
Passo 3
Vamos fatorar o coeficiente dos termos e :
Passo 4
Agora, para completar o quadrado dentro dos parênteses, precisamos adicionar e subtrair :
Passo 5
Isso simplifica para:
Passo 6
Distribuindo o :
Passo 7
Finalmente, combinando os termos constantes:
Passo 8
Agora que temos a função na forma completada do quadrado, vamos analisar o caso quando . Quando o coeficiente é negativo, a parábola representada por está voltada para baixo, o que significa que ela alcança um ponto mais alto, ou seja, um máximo.
Passo 9
O ponto de máximo ocorre no vértice da parábola. A coordenada do vértice é . Para encontrar o valor máximo de , substituímos por na função completada do quadrado: