Considere o trinômio
, onde
são reais quaisquer e
. Mostre que
Para
mostre que
atinge um máximo e diga qual é o ponto de máximo.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um trinômio do segundo grau da forma
, onde
,
e
são números reais e
não é zero. A primeira parte do exercício quer que a gente reescreva essa função de uma maneira diferente, completando o quadrado. Na segunda parte, se
for negativo, a gente precisa mostrar que a função alcança um valor máximo e identificar onde esse máximo acontece.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a função
para completar o quadrado. Completar o quadrado é uma técnica que transforma a equação quadrática em uma forma mais simples, onde podemos identificar facilmente o vértice da parábola representada pela função.
Passo 3
Vamos fatorar o coeficiente
dos termos
e
:
Passo 4
Agora, para completar o quadrado dentro dos parênteses, precisamos adicionar e subtrair
:
Passo 5
Isso simplifica para:
Passo 6
Distribuindo o
:
Passo 7
Finalmente, combinando os termos constantes:
Passo 8
Agora que temos a função na forma completada do quadrado, vamos analisar o caso quando
. Quando o coeficiente
é negativo, a parábola representada por
está voltada para baixo, o que significa que ela alcança um ponto mais alto, ou seja, um máximo.
Passo 9
O ponto de máximo ocorre no vértice da parábola. A coordenada
do vértice é
. Para encontrar o valor máximo de
, substituímos
por
na função completada do quadrado:
Resposta
Quando
, a função
atinge um máximo no ponto
.