Considere o trinômio f(x) = a x^2 + b x + c, onde b, c são reais quaisquer e a != 0. Mostre que
f(x) = a * (x + b / (2 * a))^2 + (4 * a * c - b^2) / (4 * a)
Para a < 0 mostre que f(x) atinge um máximo e diga qual é o ponto de máximo.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um trinômio do segundo grau da forma , onde , e são números reais e não é zero. A primeira parte do exercício quer que a gente reescreva essa função de uma maneira diferente, completando o quadrado. Na segunda parte, se for negativo, a gente precisa mostrar que a função alcança um valor máximo e identificar onde esse máximo acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a função para completar o quadrado. Completar o quadrado é uma técnica que transforma a equação quadrática em uma forma mais simples, onde podemos identificar facilmente o vértice da parábola representada pela função.

Passo 3

Vamos fatorar o coeficiente dos termos e :

Passo 4

Agora, para completar o quadrado dentro dos parênteses, precisamos adicionar e subtrair :

Passo 5

Isso simplifica para:

Passo 6

Distribuindo o :

Passo 7

Finalmente, combinando os termos constantes:

Passo 8

Agora que temos a função na forma completada do quadrado, vamos analisar o caso quando . Quando o coeficiente é negativo, a parábola representada por está voltada para baixo, o que significa que ela alcança um ponto mais alto, ou seja, um máximo.

Passo 9

O ponto de máximo ocorre no vértice da parábola. A coordenada do vértice é . Para encontrar o valor máximo de , substituímos por na função completada do quadrado:

Resposta

Quando , a função atinge um máximo no ponto .

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