Considere o trinômio
, onde
são reais quaisquer e
. Mostre que
Para
mostre que
atinge um mínimo e diga qual é o ponto de mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um trinômio do segundo grau, que é uma expressão matemática do tipo
, onde
,
e
são números reais e
não é zero. O que precisamos fazer é reescrever esse trinômio de uma forma diferente usando um truque chamado “completar o quadrado”. Depois, para o caso em que
, vamos mostrar que a função atinge um valor mínimo e identificar em que ponto isso acontece.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o trinômio
completando o quadrado. Completar o quadrado é uma técnica que transforma uma expressão quadrática em uma forma que facilita a análise, especialmente para encontrar mínimos ou máximos.
Passo 3
Vamos fatorar o coeficiente
dos termos quadráticos e lineares. Isso fica assim:
Passo 4
Agora, para completar o quadrado dentro dos parênteses, precisamos adicionar e subtrair o quadrado da metade do coeficiente de
. A metade de
é
, e o seu quadrado é
.
Então, adicionamos e subtraímos esse termo:
Passo 5
Agora, a expressão dentro dos parênteses se torna um quadrado perfeito:
Passo 6
Distribuindo o
e simplificando os termos, temos:
Para combinar os termos constantes, com denominadores iguais:
Passo 7
Portanto, a forma completa do trinômio é:
Passo 8
Agora, vamos analisar quando
. Nesse caso, o coeficiente de
é positivo, o que significa que a parábola abre para cima. Isso quer dizer que a função
atinge um valor mínimo.
Passo 9
O ponto de mínimo ocorre onde
é igual a zero, ou seja, quando:
Resposta
Para
, a função
atinge um mínimo no ponto
.
Exercícios relacionados
Deduza a equação geral da reta no plano cartesiano, isto é, mostre que uma reta qualquer no plano pode ser parametrizada por uma equação da forma
, onde
são reais quaisquer com
.
Prove por indução que para cada
!.
Resolva a inequação:
.
Resolva a inequação:
.