Considere o trinômio f(x) = a x^2 + b x + c, onde b, c são reais quaisquer e a != 0. Mostre que
f(x) = a * (x + b / (2 * a))^2 + (4 * a * c - b^2) / (4 * a)
Para a > 0 mostre que f(x) atinge um mínimo e diga qual é o ponto de mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um trinômio do segundo grau, que é uma expressão matemática do tipo , onde , e são números reais e não é zero. O que precisamos fazer é reescrever esse trinômio de uma forma diferente usando um truque chamado “completar o quadrado”. Depois, para o caso em que , vamos mostrar que a função atinge um valor mínimo e identificar em que ponto isso acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o trinômio completando o quadrado. Completar o quadrado é uma técnica que transforma uma expressão quadrática em uma forma que facilita a análise, especialmente para encontrar mínimos ou máximos.

Passo 3

Vamos fatorar o coeficiente dos termos quadráticos e lineares. Isso fica assim:

Passo 4

Agora, para completar o quadrado dentro dos parênteses, precisamos adicionar e subtrair o quadrado da metade do coeficiente de . A metade de é , e o seu quadrado é .
Então, adicionamos e subtraímos esse termo:

Passo 5

Agora, a expressão dentro dos parênteses se torna um quadrado perfeito:

Passo 6

Distribuindo o e simplificando os termos, temos:
Para combinar os termos constantes, com denominadores iguais:

Passo 7

Portanto, a forma completa do trinômio é:

Passo 8

Agora, vamos analisar quando . Nesse caso, o coeficiente de é positivo, o que significa que a parábola abre para cima. Isso quer dizer que a função atinge um valor mínimo.

Passo 9

O ponto de mínimo ocorre onde é igual a zero, ou seja, quando:

Resposta

Para , a função atinge um mínimo no ponto .

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