Considere um tronco de cone onde o raio da base menor é r > 0 e o raio da base maior é R > r > 0. Encontre uma expressão para o volume deste tronco de cone.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma expressão para o volume de um tronco de cone. Isso está relacionado ao estudo de geometria, especificamente ao cálculo de volumes de sólidos de revolução. Para resolver, vamos precisar conhecer a fórmula do volume de um cone e adaptar para o tronco de cone, que é o cone com a parte de cima cortada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone completo. A fórmula é:
onde é o raio da base e é a altura do cone. Essa fórmula nos dá o volume de todo o cone.

Passo 3

Agora, como estamos lidando com um tronco de cone, imagine que cortamos a parte de cima de um cone, formando um segundo cone menor. O volume do tronco será a diferença entre o volume do cone maior e o volume do cone menor que foi cortado.

Passo 4

Vamos chamar o raio da base maior de e o raio da base menor de . Se a altura do tronco de cone for , podemos relacionar as alturas dos cones através da semelhança dos triângulos. Mas para simplificar, a fórmula geral do volume do tronco de cone é:
Essa fórmula considera as áreas das duas bases e a altura do tronco.

Passo 5

Então, aplicando a fórmula, temos a expressão para o volume do tronco de cone em função dos raios das bases e e da altura .

Resposta

A expressão para o volume do tronco de cone é:

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