Considere um tronco de cone onde o raio da base menor é
e o raio da base maior é
. Encontre uma expressão para o volume deste tronco de cone.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma expressão para o volume de um tronco de cone. Isso está relacionado ao estudo de geometria, especificamente ao cálculo de volumes de sólidos de revolução. Para resolver, vamos precisar conhecer a fórmula do volume de um cone e adaptar para o tronco de cone, que é o cone com a parte de cima cortada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone completo. A fórmula é:
onde
é o raio da base e
é a altura do cone. Essa fórmula nos dá o volume de todo o cone.
Passo 3
Agora, como estamos lidando com um tronco de cone, imagine que cortamos a parte de cima de um cone, formando um segundo cone menor. O volume do tronco será a diferença entre o volume do cone maior e o volume do cone menor que foi cortado.
Passo 4
Vamos chamar o raio da base maior de
e o raio da base menor de
. Se a altura do tronco de cone for
, podemos relacionar as alturas dos cones através da semelhança dos triângulos. Mas para simplificar, a fórmula geral do volume do tronco de cone é:
Essa fórmula considera as áreas das duas bases e a altura do tronco.
Passo 5
Então, aplicando a fórmula, temos a expressão para o volume do tronco de cone em função dos raios das bases
e
e da altura
.
Resposta
A expressão para o volume do tronco de cone é:
Exercícios relacionados
Determine a derivada das funções vetoriais.
(d)
(d)
Determine o gradiente de cada função abaixo:
Se
e
são funções de
, calcule
quando:
©
©
Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 3 na direção
e igual a -1 na direção
. Calcule:
(b) , onde
é o versor de
.
(b)