Uma função diferenciável f(x, y) tem, no ponto (1,1), derivada direcional igual a 3 na direção 4 i+3 j e igual a -1 na direção 4 i-3 j. Calcule:
(b) partial fpartial u(1,1), onde u é o versor de i+j.

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos uma função diferenciável e sabemos as derivadas direcionais dela no ponto em duas direções específicas. Precisamos calcular a derivada direcional na direção do vetor unitário . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, derivadas direcionais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de Dv f = nabla f cdot v na direção de um vetor é dada por:
onde é o gradiente de .

Passo 3

As direções dadas são |v1| = raiz4^2 + 3^2 = 5 e u1 = 45i + 35j . Vamos primeiro encontrar os vetores unitários nessas direções.
Para |v2| = 5 :
u2 = 45i - 35j
Então, o vetor unitário é:
Para :
E o vetor unitário é:

Passo 4

Sabemos que:
Du1 f = 3 e Du2 f = -1
Usando a fórmula da derivada direcional:
nabla f cdot u1 = 3 e nabla f cdot u2 = -1

Passo 5

Vamos escrever 45fx + 35fy = 3 . Então, temos:
45fx - 35fy = -1

Passo 6

Multiplicando ambas as equações por 5 para simplificar:
4fx + 3fy = 15 (1)
4fx - 3fy = -5 (2)

Passo 7

Somando as equações (1) e (2):
8fx = 10 implies fx = 108 = 54
Subtraindo a equação (2) da (1):
6fy = 20 implies fy = 206 = 103

Passo 8

Agora que temos |u| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 e u = 1raiz2i + 1raiz2j , podemos calcular a derivada direcional na direção de .
Primeiro, normalizamos :
Então, o vetor unitário é:

Passo 9

Aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Du f = nabla f cdot u = fx cdot 1raiz2 + fy cdot 1raiz2
Substituindo os valores:
Du f = 54 cdot 1raiz2 + 103 cdot 1raiz2 = ( 54 + 103 ) 1raiz2 = 3512raiz2

Resposta

partial fpartial u(1,1) = 3512raiz2

Exercícios relacionados