Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 3 na direção
e igual a -1 na direção
. Calcule:
(b)
, onde
é o versor de
.
(b)
Passo 1
Vamos resumir o problema: Temos uma função diferenciável
e sabemos as derivadas direcionais dela no ponto
em duas direções específicas. Precisamos calcular a derivada direcional na direção do vetor unitário
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, derivadas direcionais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de
na direção de um vetor
é dada por:
onde
é o gradiente de
.
Passo 3
As direções dadas são
e
. Vamos primeiro encontrar os vetores unitários nessas direções.
Para
:
Então, o vetor unitário é:
Para
:
E o vetor unitário é:
Passo 4
Sabemos que:
Usando a fórmula da derivada direcional:
Passo 5
Vamos escrever
. Então, temos:
Passo 6
Multiplicando ambas as equações por 5 para simplificar:
Passo 7
Somando as equações (1) e (2):
Subtraindo a equação (2) da (1):
Passo 8
Agora que temos
e
, podemos calcular a derivada direcional na direção de
.
Primeiro, normalizamos
:
Então, o vetor unitário é:
Passo 9
Aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Substituindo os valores: