Determine o gradiente de cada função abaixo:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o gradiente da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com o conceito de gradiente de uma função de várias variáveis. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a diferenciação. Sabemos que a raiz quadrada pode ser expressa como uma potência de . Portanto, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . A derivada parcial em relação a mostra como a função varia quando apenas muda, mantendo e constantes.
Usando a regra da potência e a regra do produto, temos:

Passo 4

Simplificando a derivada parcial em relação a :

Passo 5

De maneira similar, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Aqui, precisamos aplicar a regra da cadeia, já que está no denominador e elevada ao quadrado:

Resposta

O gradiente da função é dado por:

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Determine o gradiente de cada função abaixo:
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Determine a derivada das funções vetoriais.
(d)
Considere um tronco de cone onde o raio da base menor é e o raio da base maior é . Encontre uma expressão para o volume deste tronco de cone.