Determine o gradiente de cada função abaixo:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o gradiente da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com o conceito de gradiente de uma função de várias variáveis. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a diferenciação. Sabemos que a raiz quadrada pode ser expressa como uma potência de
. Portanto, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. A derivada parcial em relação a
mostra como a função varia quando apenas
muda, mantendo
e
constantes.
Usando a regra da potência e a regra do produto, temos:
Passo 4
Simplificando a derivada parcial em relação a
:
Passo 5
De maneira similar, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Aqui, precisamos aplicar a regra da cadeia, já que
está no denominador e elevada ao quadrado:
Resposta
O gradiente da função
é dado por: