Determine a derivada das funções vetoriais.
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada de uma função vetorial específica. Estamos lidando com cálculo vetorial aqui, e para resolver isso, vamos precisar saber como derivar cada componente da função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função vetorial que temos:
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente. Nossa missão é encontrar , que é a derivada dessa função em relação a .

Passo 3

Lembre-se que para derivar uma função vetorial, a gente deriva cada componente separadamente. Então, vamos começar com a primeira componente:
Vamos usar a regra do produto, já que temos uma função exponencial multiplicada por uma função trigonométrica.

Passo 4

Aplicando a regra do produto para :
Então, a derivada da primeira componente é .

Passo 5

Agora, vamos para a segunda componente:
Novamente, usamos a regra do produto:
Então, a derivada da segunda componente é .

Passo 6

Por último, a terceira componente:
A derivada de em relação a é .

Resposta

Juntando tudo, a derivada da função vetorial é:

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