Determine a derivada das funções vetoriais.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada de uma função vetorial específica. Estamos lidando com cálculo vetorial aqui, e para resolver isso, vamos precisar saber como derivar cada componente da função separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função vetorial que temos:
Aqui,
,
e
são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente. Nossa missão é encontrar
, que é a derivada dessa função em relação a
.
Passo 3
Lembre-se que para derivar uma função vetorial, a gente deriva cada componente separadamente. Então, vamos começar com a primeira componente:
Vamos usar a regra do produto, já que temos uma função exponencial multiplicada por uma função trigonométrica.
Passo 4
Aplicando a regra do produto para
:
Então, a derivada da primeira componente é .
Passo 5
Agora, vamos para a segunda componente:
Novamente, usamos a regra do produto:
Então, a derivada da segunda componente é .
Passo 6
Por último, a terceira componente:
A derivada de
em relação a
é
.
Resposta
Juntando tudo, a derivada da função vetorial é:
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Determine o gradiente de cada função abaixo:
Determine o gradiente de cada função abaixo:
Considere um tronco de cone onde o raio da base menor é
e o raio da base maior é
. Encontre uma expressão para o volume deste tronco de cone.
Se
e
são funções de
, calcule
quando:
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