Os perfis de velocidade e de temperatura para um escoamento de um fluido em um tubo de 50 mm de diâmetro são expressos por:
com unidades em e K , respectivamente. Determine a velocidade média e a temperatura média de mistura a partir das expressões dadas.
Respostas: .
Passo 1
Vamos lá! O exercício nos dá os perfis de velocidade e de temperatura para o escoamento de um fluido dentro de um tubo com diâmetro de 50 mm. Nosso objetivo é encontrar a velocidade média e a temperatura média dessa mistura. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de médias em funções circulares, ou seja, integrais em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o perfil de velocidade:
Aqui, é o raio do tubo, que é metade do diâmetro: mm = 0,025 m.
Passo 3
Para encontrar a velocidade média em um fluxo circular, usamos a fórmula:
onde é a área da seção transversal do tubo. Em coordenadas polares, .
Passo 4
Calculando a área :
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral para a velocidade média:
Simplificando:
Passo 6
Resolvendo a integral:
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos para a temperatura média . A fórmula é semelhante:
Simplificando:
Passo 8
Resolvendo as integrais:
Somando tudo:
Resposta
A velocidade média é e a temperatura média de mistura é .