Os perfis de velocidade e de temperatura para um escoamento de um fluido em um tubo de 50 mm de diâmetro são expressos por:
com unidades em e K , respectivamente. Determine a velocidade média e a temperatura média de mistura a partir das expressões dadas.
Respostas: .

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos dá os perfis de velocidade e de temperatura para o escoamento de um fluido dentro de um tubo com diâmetro de 50 mm. Nosso objetivo é encontrar a velocidade média e a temperatura média dessa mistura. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de médias em funções circulares, ou seja, integrais em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o perfil de velocidade:
Aqui, é o raio do tubo, que é metade do diâmetro: mm = 0,025 m.

Passo 3

Para encontrar a velocidade média em um fluxo circular, usamos a fórmula:
onde é a área da seção transversal do tubo. Em coordenadas polares, .

Passo 4

Calculando a área :

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral para a velocidade média:
Simplificando:

Passo 6

Resolvendo a integral:
Portanto:

Passo 7

Agora, vamos para a temperatura média . A fórmula é semelhante:
Simplificando:

Passo 8

Resolvendo as integrais:
Somando tudo:

Resposta

A velocidade média é e a temperatura média de mistura é .

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