Os perfis de velocidade e de temperatura para um escoamento de um fluido em um tubo de 50 mm de diâmetro são expressos por:
u(r)=0.05[(1-(r / R)^2] T(r)=400+80(r / R)^2-30(r / R)^3
com unidades em m / s e K , respectivamente. Determine a velocidade média e a temperatura média de mistura a partir das expressões dadas.
Respostas: 0,025 m / s, 420 K.

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos dá os perfis de velocidade e de temperatura para o escoamento de um fluido dentro de um tubo com diâmetro de 50 mm. Nosso objetivo é encontrar a velocidade média e a temperatura média dessa mistura. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de médias em funções circulares, ou seja, integrais em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o perfil de velocidade:
u(r) = 0.05 (1 - (rR)^2)
Aqui, é o raio do tubo, que é metade do diâmetro: mm = 0,025 m.

Passo 3

Para encontrar a velocidade média u = 1A integralA u(r) , dA em um fluxo circular, usamos a fórmula:
onde é a área da seção transversal do tubo. Em coordenadas polares, .

Passo 4

Calculando a área A = pi R^2 = pi (0,025)^2 = 0,0019635 , m^2 :

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral para a velocidade média:
u = 1pi R^2 integral0^R 0.05 (1 - (rR)^2) 2pi r , dr
Simplificando:
u = 2 times 0.05R^2 integral0^R (r - r^3R^2) , dr

Passo 6

Resolvendo a integral:
integral0^R r , dr = R^22
integral0^R r^3R^2 , dr = R^24
Portanto:
u = 0.1R^2 (R^22 - R^24) = 0.1R^2 times R^24 = 0,025 , m/s

Passo 7

Agora, vamos para a temperatura média T = 1A integralA T(r) , dA = 1pi R^2 integral0^R (400 + 80(rR)^2 - 30(rR)^3) 2pi r , dr . A fórmula é semelhante:
T = 2R^2 integral0^R (400r + 80r^3R^2 - 30r^4R^3) , dr
Simplificando:

Passo 8

Resolvendo as integrais:
integral0^R 400r , dr = 400 times R^22 = 200R^2
integral0^R 80r^3R^2 , dr = 80 times R^24 = 20R^2
integral0^R 30r^4R^3 , dr = 30 times R^25 = 6R^2
Somando tudo:
T = 2R^2 (200R^2 + 20R^2 - 6R^2) = 2R^2 times 214R^2 = 428 , K

Resposta

A velocidade média é e a temperatura média de mistura é .

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