Duplas cascas esféricas condutoras concêntricas estão separadas pelo vácuo. A casca esférica interna possui carga total +Q e raio r a e a casca esférica externa possui carga total -Q e raio r b. Assim, temos um capacitor esférico. Calcule a energia potencial elétrica armazenada no capacitor: a) usando a capacitância C encontrada e; b) integrando a densidade de energia do campo elétrico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre capacitores esféricos! A gente tem duas cascas esféricas condutoras, uma interna com carga +Q e raio , e uma externa com carga -Q e raio . Essas duas formam um capacitor esférico. Para resolver, vamos precisar entender o que é capacitância e como calcular energia potencial elétrica, seja usando a capacitância ou integrando a densidade de energia do campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância C = 4pivarepsilon0 ra rbrb - ra de um capacitor esférico é dada pela fórmula:
Aqui, é a constante de permissividade elétrica do vácuo.

Passo 3

Agora, para encontrar a energia potencial elétrica armazenada no capacitor usando a capacitância, usamos a fórmula da energia armazenada em um capacitor:
U = Q^22C
Essa fórmula nos diz que a energia é proporcional ao quadrado da carga dividida pela capacitância.

Passo 4

Substituindo a expressão de U = Q^22 times 4pivarepsilon0 ra rbrb - ra = Q^2 (rb - ra)8pivarepsilon0 ra rb que encontramos no Passo 2 na fórmula da energia, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia potencial elétrica integrando a densidade de energia do campo elétrico. A densidade de energia u = 12 varepsilon0 E^2 é dada por:
Onde é o campo elétrico.

Passo 6

O campo elétrico entre as duas cascas esféricas é:
E(r) = Q4pivarepsilon0 r^2
Esse campo existe apenas no intervalo .

Passo 7

Substituindo u(r) = 12 varepsilon0 ( Q4pivarepsilon0 r^2 )^2 = Q^232pi^2 varepsilon0 r^4 na densidade de energia, temos:

Passo 8

Para encontrar a energia total, integramos U = integralra^rb Q^232pi^2 varepsilon0 r^4 times 4pi r^2 dr = Q^28pivarepsilon0 integralra^rb 1r^2 dr de até :

Passo 9

Calculando a integral:
integralra^rb 1r^2 dr = [ -1r ]ra^rb = 1ra - 1rb
Portanto,
U = Q^28pivarepsilon0 ( 1ra - 1rb ) = Q^2 (rb - ra)8pivarepsilon0 ra rb

Resposta

A energia potencial elétrica armazenada no capacitor esférico é:
U = Q^2 (rb - ra)8pivarepsilon0 ra rb

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