Duplas cascas esféricas condutoras concêntricas estão separadas pelo vácuo. A casca esférica interna possui carga total e raio e a casca esférica externa possui carga total e raio . Assim, temos um capacitor esférico. Calcule a energia potencial elétrica armazenada no capacitor: a) usando a capacitância encontrada e; b) integrando a densidade de energia do campo elétrico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre capacitores esféricos! A gente tem duas cascas esféricas condutoras, uma interna com carga +Q e raio , e uma externa com carga -Q e raio . Essas duas formam um capacitor esférico. Para resolver, vamos precisar entender o que é capacitância e como calcular energia potencial elétrica, seja usando a capacitância ou integrando a densidade de energia do campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância de um capacitor esférico é dada pela fórmula:
Aqui, é a constante de permissividade elétrica do vácuo.

Passo 3

Agora, para encontrar a energia potencial elétrica armazenada no capacitor usando a capacitância, usamos a fórmula da energia armazenada em um capacitor:
Essa fórmula nos diz que a energia é proporcional ao quadrado da carga dividida pela capacitância.

Passo 4

Substituindo a expressão de que encontramos no Passo 2 na fórmula da energia, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia potencial elétrica integrando a densidade de energia do campo elétrico. A densidade de energia é dada por:
Onde é o campo elétrico.

Passo 6

O campo elétrico entre as duas cascas esféricas é:
Esse campo existe apenas no intervalo .

Passo 7

Substituindo na densidade de energia, temos:

Passo 8

Para encontrar a energia total, integramos de até :

Passo 9

Calculando a integral:
Portanto,

Resposta

A energia potencial elétrica armazenada no capacitor esférico é:

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