Duplas cascas esféricas condutoras concêntricas estão separadas pelo vácuo. A casca esférica interna possui carga total
e raio
e a casca esférica externa possui carga total
e raio
. Assim, temos um capacitor esférico. Calcule a energia potencial elétrica armazenada no capacitor: a) usando a capacitância
encontrada e; b) integrando a densidade de energia do campo elétrico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre capacitores esféricos! A gente tem duas cascas esféricas condutoras, uma interna com carga +Q e raio
, e uma externa com carga -Q e raio
. Essas duas formam um capacitor esférico. Para resolver, vamos precisar entender o que é capacitância e como calcular energia potencial elétrica, seja usando a capacitância ou integrando a densidade de energia do campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a capacitância
de um capacitor esférico é dada pela fórmula:
Aqui,
é a constante de permissividade elétrica do vácuo.
Passo 3
Agora, para encontrar a energia potencial elétrica armazenada no capacitor usando a capacitância, usamos a fórmula da energia armazenada em um capacitor:
Essa fórmula nos diz que a energia é proporcional ao quadrado da carga dividida pela capacitância.
Passo 4
Substituindo a expressão de
que encontramos no Passo 2 na fórmula da energia, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia potencial elétrica integrando a densidade de energia do campo elétrico. A densidade de energia
é dada por:
Onde
é o campo elétrico.
Passo 6
O campo elétrico entre as duas cascas esféricas é:
Esse campo existe apenas no intervalo
.
Passo 7
Substituindo
na densidade de energia, temos:
Passo 8
Para encontrar a energia total, integramos
de
até
:
Passo 9
Calculando a integral:
Portanto,
Resposta
A energia potencial elétrica armazenada no capacitor esférico é: