Considere o tubo do problema 1, sem isolamento térmico, admitindo que as temperaturas das superfícies interna e externa sejam de 811 K e 560 K. Calcule a temperatura no raio de 25,4 mm.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um tubo sem isolamento térmico, onde a temperatura na superfície interna é de e na superfície externa é de . Precisamos calcular a temperatura em um ponto específico do tubo, localizado a do centro.
Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de condução de calor em coordenadas cilíndricas, especificamente a solução para o equilíbrio térmico em tubos cilíndricos. Vamos precisar aplicar a equação de condução de calor estacionária para sistemas cilíndricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas para um estado estacionário (sem variação no tempo):
1r ddr ( r dTdr ) = 0
Essa equação nos diz como a temperatura varia com o raio no tubo.

Passo 3

Vamos integrar a equação para encontrar a distribuição de temperatura. Integrando a equação acima em relação a r dTdr = C1 :
Onde é uma constante de integração.

Passo 4

Agora, dividimos ambos os lados por dTdr = C1r e integramos novamente:
T(r) = C1 ln(r) + C2
Integrando:
Aqui, é outra constante de integração.

Passo 5

Para encontrar as constantes 811 = C1 ln(rinterno) + C2 e 560 = C1 ln(rexterno) + C2 , usamos as condições de contorno fornecidas:
  1. Na superfície interna ( ), .
  2. Na superfície externa ( ), .
Vamos substituir esses valores na equação de :

Passo 6

Subtraindo as duas equações para eliminar 811 - 560 = C1 [ln(rinterno) - ln(rexterno)] :
251 = C1 ln(rinternorexterno)
C1 = 251ln(rinternorexterno)
Então,

Passo 7

Agora, substituímos 811 = 251ln(rinternorexterno) ln(rinterno) + C2 de volta em uma das equações originais para encontrar C2 = 811 - 251 ln(rinterno)ln(rinternorexterno) . Usando a primeira equação:
Resolvendo para :

Passo 8

Com T(r) = 251ln(rinternorexterno) ln(r) + 811 - 251 ln(rinterno)ln(rinternorexterno) e encontrados, a distribuição de temperatura fica:

Passo 9

Finalmente, substituímos T(25,4, mm) = 251ln(rinternorexterno) ln(25,4) + 811 - 251 ln(rinterno)ln(rinternorexterno) na equação acima para encontrar a temperatura naquele raio específico:

Resposta

A temperatura no raio de T(25,4, mm) = 251ln(rinternorexterno) ln(25,4) + 811 - 251 ln(rinterno)ln(rinternorexterno) é dada pela expressão:

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