Considere uma tubulação de cobre de 20 metros de comprimento, diâmetro interno de 30 cm e parede com espessura de 2 cm . A parede interna do tubo está à 50^circ C e a temperatura ambiente é de 20^circ C. Calcule: b) a espessura que deve ter o isolante para que a taxa de calor seja reduzida à metade;

Passo 1

Vamos resumir o que pede o exercício. Temos uma tubulação de cobre com 20 metros de comprimento, diâmetro interno de 30 cm e parede com espessura de 2 cm. A temperatura interna é de 50^circ C e a temperatura ambiente é de 20^circ C. Precisamos calcular a espessura do isolamento que fará com que a taxa de calor perdida seja reduzida pela metade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução e propriedades térmicas dos materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o calor é transferido através da parede da tubulação. A transferência de calor por condução em cilindros é descrita pela Lei de Fourier adaptada para coordenadas cilíndricas. A fórmula para a taxa de transferência de calor Q é:
Q = 2 pi k L (Tint - Tamb)ln(rextrint)
Onde:
  • k é a condutividade térmica do material,
  • L é o comprimento da tubulação,
  • Tint e Tamb são as temperaturas interna e ambiente,
  • rext e rint são os raios externo e interno da tubulação.

Passo 3

Vamos calcular a taxa de calor atual sem isolamento. Primeiro, calculamos os raios interno e externo da tubulação de cobre.
rint = 30 , cm2 = 15 , cm = 0,15 , m
rext = rint + espessura da parede = 0,15 , m + 0,02 , m = 0,17 , m
Assumindo que a condutividade térmica do cobre é kcobre = 401 , W/m·K, o comprimento L = 20 , m, e a diferença de temperatura De.
Substituindo na fórmula:
Q1 = 2 pi times 401 times 20 times 30ln(0,170,15)

Passo 4

Queremos que a nova taxa de calor Q2 seja metade de Q1:
Q2 = Q12
Para isso, adicionamos um isolante com espessura t ao redor da tubulação. A nova resistência térmica será a soma da resistência da tubulação de cobre e a resistência do isolante.

Passo 5

A resistência térmica para condução em cilindros é dada por:
R = ln(rextrint)2 pi k L
Para a tubulação de cobre:
Rcobre = ln(0,170,15)2 pi times 401 times 20
Para o isolante:
Risolante = ln(rnovo0,17)2 pi kisolante times 20
Onde rnovo = 0,17 + t e kisolante é a condutividade térmica do material isolante (vamos assumir kisolante = 0,04 , W/m·K, típico para lã de vidro).

Passo 6

A nova resistência total Rtotal deve ser o dobro da resistência original para reduzir a taxa de calor pela metade:
Rtotal = Rcobre + Risolante = 2 Rcobre
Substituindo as expressões:
ln(rnovo0,17)2 pi times 0,04 times 20 = Rcobre
Resolvendo para t:
ln(0,17 + t0,17) = 2 pi times 0,04 times 20 times Rcobre

Passo 7

Calculando Rcobre:
Rcobre = ln(0,170,15)2 pi times 401 times 20 approx ln(1,1333)50265,483 approx 0,12550265,483 approx 2,49 times 10^-6 , K/W
Substituindo de volta:
ln(0,17 + t0,17) = 2 pi times 0,04 times 20 times 2,49 times 10^-6
ln(0,17 + t0,17) approx 0,0000125

Passo 8

Para encontrar t, resolvemos a equação:
0,17 + t0,17 = e^0,0000125 approx 1,0000125
0,17 + t = 0,17 times 1,0000125 approx 0,170002125
t approx 0,170002125 - 0,17 = 0,000002125 , m = 0,002125 , mm

Resposta

A espessura do isolante necessária para reduzir a taxa de calor pela metade é aproximadamente 0,0021 , mm.

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