Considere
.
Considere
e
Mostre que:
, onde
e
.
Considere
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz
, dois vetores
e
, e define novos vetores
e
. A pergunta é para mostrar que o produto interno (ou seja, o “resultado” de combinar
com
) é igual ao produto interno original de
com
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, vetores e produto interno, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a matriz
aos vetores
e
para encontrar
e
.
A matriz
é:
E os vetores são:
Vamos calcular
:
Agora, calculamos
:
Passo 3
Agora, vamos calcular os produtos internos
e
.
O produto interno
é calculado como o conjugado de
vezes
e depois somar esses resultados.
Primeiro, calculamos
:
Aqui, usamos que o conjugado de
é
e o conjugado de 4 é 4.
Agora, calculamos
:
Sabemos que
, então:
Resposta
Assim,
.