Considere U=(cc1 & 0 0 & +i).
Considere |vrang<==binom12 e |wrang<==binom-i4 Mostre que: lang<= w^prime mid v^primerang<==lang<= w mid vrang<=, onde |v^primerang<==U|vrang<= e |w^primerang<==U|wrang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz , dois vetores e , e define novos vetores e . A pergunta é para mostrar que o produto interno (ou seja, o “resultado” de combinar com ) é igual ao produto interno original de com . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, vetores e produto interno, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a matriz U = 1 & 0 0 & i aos vetores |vrang<= = 1 2, |wrang<= = -i 4 e |v'rang<= = 1 & 0 0 & i 1 2 = 1 times 1 + 0 times 2 0 times 1 + i times 2 = 1 2i para encontrar |w'rang<= = 1 & 0 0 & i -i 4 = 1 times (-i) + 0 times 4 0 times (-i) + i times 4 = -i 4i e .
A matriz é:
E os vetores são:
Vamos calcular :
Agora, calculamos :

Passo 3

Agora, vamos calcular os produtos internos lang<= w | v rang<= = (-i)^* times 1 + 4^* times 2 = i times 1 + 4 times 2 = i + 8 e lang<= w' | v' rang<= = (-i)^* times 1 + (4i)^* times 2i = i times 1 + (-4i) times 2i = i - 8i^2 .
O produto interno i - 8(-1) = i + 8 = 8 + i é calculado como o conjugado de vezes e depois somar esses resultados.
Primeiro, calculamos :
Aqui, usamos que o conjugado de é e o conjugado de 4 é 4.
Agora, calculamos :
Sabemos que , então:

Resposta

Assim, .

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