Considere .
Considere e Mostre que: , onde e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz , dois vetores e , e define novos vetores e . A pergunta é para mostrar que o produto interno (ou seja, o “resultado” de combinar com ) é igual ao produto interno original de com . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, vetores e produto interno, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a matriz aos vetores e para encontrar e .
A matriz é:
E os vetores são:
Vamos calcular :
Agora, calculamos :

Passo 3

Agora, vamos calcular os produtos internos e .
O produto interno é calculado como o conjugado de vezes e depois somar esses resultados.
Primeiro, calculamos :
Aqui, usamos que o conjugado de é e o conjugado de 4 é 4.
Agora, calculamos :
Sabemos que , então:

Resposta

Assim, .

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Considere .
Verifique se é unitário.
Considere .
Encontre o adjunto do operador .
Um sistema físico, cujo espaço de estados é descrito pela base ortonormal , tem um observável dado por:
Obtenha, na base dada, uma representação matricial para e verifique se é hermitiano.
Um sistema físico, cujo espaço de estados é descrito pela base ortonormal , tem um observável dado por:
Considere . Obtenha .