Um sistema físico, cujo espaço de estados é descrito pela base ortonormal , tem um observável dado por:
Considere . Obtenha .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o valor esperado do observável para um sistema em um estado específico . Isso envolve conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre observáveis, estados quânticos e cálculo de valores esperados. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar o observável em termos de matrizes, como calcular produtos internos e aplicar essas operações ao estado fornecido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um observável na mecânica quântica. Um observável é algo que podemos medir em um sistema quântico, como energia, posição ou momento. Matematicamente, os observáveis são representados por operadores hermitianos, que podem ser expressos como matrizes em uma base ortonormal.
No nosso caso, a base ortonormal é , e o observável está dado por:
Aqui, , e são números reais positivos.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos representar o operador como uma matriz na base dada. Cada termo corresponde a uma matriz com 1 na posição e 0 nas demais posições.
Vamos construir a matriz :
O termo contribui com na posição (1,1).
O termo contribui com na posição (2,3).
O termo contribui com na posição (3,3).
Multiplicando tudo por , temos:
Passo 4
Agora, vamos considerar o estado |psi(o)rang<= = raiz2|1rang<= + iraiz2|2rang<= - raiz3|3rang<= :
lang<= B rang<= = lang<= psi(o) | B | psi(o) rang<=
Para calcular o valor esperado , usamos a fórmula:
Isso significa que precisamos calcular o produto interno do estado com o operador aplicado a .
Passo 5
Vamos primeiro aplicar o operador B |psi(o)rang<= = B ( raiz2|1rang<= + iraiz2|2rang<= - raiz3|3rang<= ) ao estado B |psi(o)rang<= = ibeta a & 0 & 0 0 & 0 & -1 0 & 0 & -b raiz2 iraiz2 -raiz3 :
B |psi(o)rang<= = ibeta a raiz2 ibeta raiz3 ibeta b raiz3
Usando a matriz de :
Multiplicando a matriz pelo vetor:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular lang<= psi(o) | = ( raiz2, -iraiz2, -raiz3 ) . Primeiro, precisamos encontrar o vetor lang<= B rang<= = lang<= psi(o) | B | psi(o) rang<= = raiz2 cdot ibeta a raiz2 + (-iraiz2) cdot ibeta raiz3 + (-raiz3) cdot ibeta b raiz3 , que é o conjugado transposto de :
Note que ao tomar o conjugado transposto, os coeficientes complexos viram .
Agora, fazemos o produto escalar de com :
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 7
Reunindo todos os termos:
lang<= B rang<= = 2ibeta a + beta raiz6 - 3ibeta b
Podemos fatorar lang<= B rang<= = beta (2i a + raiz6 - 3i b) :
Resposta
O valor esperado de lang<= B rang<= = beta ( 2i a + raiz6 - 3i b ) no estado é: