Um sistema físico, cujo espaço de estados é descrito pela base ortonormal , tem um observável dado por:
Considere . Obtenha .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o valor esperado do observável para um sistema em um estado específico . Isso envolve conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre observáveis, estados quânticos e cálculo de valores esperados. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar o observável em termos de matrizes, como calcular produtos internos e aplicar essas operações ao estado fornecido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um observável na mecânica quântica. Um observável é algo que podemos medir em um sistema quântico, como energia, posição ou momento. Matematicamente, os observáveis são representados por operadores hermitianos, que podem ser expressos como matrizes em uma base ortonormal.
No nosso caso, a base ortonormal é , e o observável está dado por:
Aqui, , e são números reais positivos.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos representar o operador como uma matriz na base dada. Cada termo corresponde a uma matriz com 1 na posição e 0 nas demais posições.
Vamos construir a matriz :
  • O termo contribui com na posição (1,1).
  • O termo contribui com na posição (2,3).
  • O termo contribui com na posição (3,3).
Multiplicando tudo por , temos:

Passo 4

Agora, vamos considerar o estado :
Para calcular o valor esperado , usamos a fórmula:
Isso significa que precisamos calcular o produto interno do estado com o operador aplicado a .

Passo 5

Vamos primeiro aplicar o operador ao estado :
Usando a matriz de :
Multiplicando a matriz pelo vetor:
  • Primeira componente:
  • Segunda componente:
  • Terceira componente:
Então,

Passo 6

Agora, vamos calcular . Primeiro, precisamos encontrar o vetor , que é o conjugado transposto de :
Note que ao tomar o conjugado transposto, os coeficientes complexos viram .
Agora, fazemos o produto escalar de com :
Vamos simplificar cada termo:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:

Passo 7

Reunindo todos os termos:
Podemos fatorar :

Resposta

O valor esperado de no estado é:

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Um sistema físico, cujo espaço de estados é descrito pela base ortonormal , tem um observável dado por:
Obtenha, na base dada, uma representação matricial para e verifique se é hermitiano.
Considere .
Considere e Mostre que: , onde e .
Considere duas esferas metálicas idênticas e eletrizadas com cargas diferentes. Ao estabelecer um contato entre elas, sabe-se que as cargas elétricas se distribuirão entre as duas. O fato delas serem idênticas, significa que a carga final de ambas tem que ser igual. Todavia, nos casos em que os condutores não forem idênticos, as cargas finais serão diferentes. Sabendo disso, determine a carga final dessas esferas metálicas, sabendo que inicialmente uma tem carga de e a outra .
A uma esfera metálica, inicialmente neutra, foram acrescentados elétrons. Determine a carga elétrica dessa esfera.