Um sistema físico, cujo espaço de estados é descrito pela base ortonormal , tem um observável dado por:
Obtenha, na base dada, uma representação matricial para e verifique se é hermitiano.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema físico descrito por uma base ortonormal e um observável dado por:
Nosso objetivo é:
Encontrar a representação matricial de nessa base.
Verificar se é hermitiano.
Para isso, vamos precisar entender como representar operadores em forma matricial e o que significa um operador ser hermitiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como representar um operador em uma base ortonormal. Cada operador pode ser escrito como uma soma de termos da forma , onde e são vetores da base. A matriz desse operador tem elementos .
No nosso caso, o operador já está expressado em termos de . Vamos identificar cada termo e ver onde eles se encaixam na matriz.
Passo 3
Vamos decompor :
Isso significa que:
O termo afeta a posição (1,1) da matriz.
O termo afeta a posição (2,3).
O termo afeta a posição (3,3).
Todos os outros elementos da matriz serão zero porque não há outros termos no operador.
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz de com base nos termos identificados:
Cada entrada é multiplicada por , conforme a expressão original.
Passo 5
Agora que temos a matriz de , vamos verificar se ela é hermitiana. Lembrando que um operador é hermitiano se , onde é a adjunta de (ou seja, a matriz conjugada transposta).
Vamos calcular :
Transponha a matriz de .
Tire o conjugado de cada elemento (se houver números complexos).
Nossa matriz é:
Transpondo:
Como os elementos são todos reais multiplicados por , o conjugado de será:
Passo 6
Comparando e :
Podemos ver que porque um tem um fator e o outro , além de diferenças na posição dos elementos não diagonais.