Um sistema físico, cujo espaço de estados é descrito pela base ortonormal , tem um observável dado por:
Obtenha, na base dada, uma representação matricial para e verifique se é hermitiano.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema físico descrito por uma base ortonormal e um observável dado por:
Nosso objetivo é:
  1. Encontrar a representação matricial de nessa base.
  2. Verificar se é hermitiano.
Para isso, vamos precisar entender como representar operadores em forma matricial e o que significa um operador ser hermitiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como representar um operador em uma base ortonormal. Cada operador pode ser escrito como uma soma de termos da forma , onde e são vetores da base. A matriz desse operador tem elementos .
No nosso caso, o operador já está expressado em termos de . Vamos identificar cada termo e ver onde eles se encaixam na matriz.

Passo 3

Vamos decompor :
Isso significa que:
  • O termo afeta a posição (1,1) da matriz.
  • O termo afeta a posição (2,3).
  • O termo afeta a posição (3,3).
Todos os outros elementos da matriz serão zero porque não há outros termos no operador.

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz de com base nos termos identificados:
Cada entrada é multiplicada por , conforme a expressão original.

Passo 5

Agora que temos a matriz de , vamos verificar se ela é hermitiana. Lembrando que um operador é hermitiano se , onde é a adjunta de (ou seja, a matriz conjugada transposta).
Vamos calcular :
  1. Transponha a matriz de .
  2. Tire o conjugado de cada elemento (se houver números complexos).
Nossa matriz é:
Transpondo:
Como os elementos são todos reais multiplicados por , o conjugado de será:

Passo 6

Comparando e :
Podemos ver que porque um tem um fator e o outro , além de diferenças na posição dos elementos não diagonais.

Resposta

A representação matricial de na base é:
Além disso, não é hermitiano porque .

Exercícios relacionados

Considere .
Considere e Mostre que: , onde e .
Considere .
Verifique se é unitário.
Um sistema físico, cujo espaço de estados é descrito pela base ortonormal , tem um observável dado por:
Considere . Obtenha .
Considere duas esferas metálicas idênticas e eletrizadas com cargas diferentes. Ao estabelecer um contato entre elas, sabe-se que as cargas elétricas se distribuirão entre as duas. O fato delas serem idênticas, significa que a carga final de ambas tem que ser igual. Todavia, nos casos em que os condutores não forem idênticos, as cargas finais serão diferentes. Sabendo disso, determine a carga final dessas esferas metálicas, sabendo que inicialmente uma tem carga de e a outra .