Um sistema físico, cujo espaço de estados é descrito pela base ortonormal |1rang<=,|2rang<=,|3rang<=, tem um observável B dado por:
B=i beta(a|1rang<=lang<= 1|-|2rang<=lang<= 3|-b|3><3|) com beta in R e beta>0 ; alpha in R e alpha>0 ; b in R e b>0
Obtenha, na base dada, uma representação matricial para B e verifique se B é hermitiano.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema físico descrito por uma base ortonormal |1rang<=, |2rang<=, |3rang<= e um observável B dado por:
B = i beta (a|1rang<=lang<= 1| - |2rang<=lang<= 3| - b|3rang<=lang<= 3|)
Nosso objetivo é:
  1. Encontrar a representação matricial de B nessa base.
  2. Verificar se B é hermitiano.
Para isso, vamos precisar entender como representar operadores em forma matricial e o que significa um operador ser hermitiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como representar um operador em uma base ortonormal. Cada operador pode ser escrito como uma soma de termos da forma |irang<=lang<= j|, onde |irang<= e |jrang<= são vetores da base. A matriz desse operador tem elementos Bij = lang<= i | B | j rang<=.
No nosso caso, o operador B já está expressado em termos de |irang<=lang<= j|. Vamos identificar cada termo e ver onde eles se encaixam na matriz.

Passo 3

Vamos decompor B:
B = i beta ( a|1rang<=lang<= 1| - |2rang<=lang<= 3| - b|3rang<=lang<= 3| )
Isso significa que:
  • O termo a|1rang<=lang<= 1| afeta a posição (1,1) da matriz.
  • O termo -|2rang<=lang<= 3| afeta a posição (2,3).
  • O termo -b|3rang<=lang<= 3| afeta a posição (3,3).
Todos os outros elementos da matriz serão zero porque não há outros termos no operador.

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz de B com base nos termos identificados:
B = i beta a & 0 & 0 0 & 0 & -1 0 & 0 & -b
Cada entrada Bij é multiplicada por i beta, conforme a expressão original.

Passo 5

Agora que temos a matriz de B, vamos verificar se ela é hermitiana. Lembrando que um operador é hermitiano se B = B^dag>=r, onde B^dag>=r é a adjunta de B (ou seja, a matriz conjugada transposta).
Vamos calcular B^dag>=r:
  1. Transponha a matriz de B.
  2. Tire o conjugado de cada elemento (se houver números complexos).
Nossa matriz B é:
B = i beta a & 0 & 0 0 & 0 & -1 0 & 0 & -b
Transpondo:
B^T = i beta a & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & -1 & -b
Como os elementos são todos reais multiplicados por i beta, o conjugado de B^T será:
B^dag>=r = (-i beta) a & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & -1 & -b

Passo 6

Comparando B e B^dag>=r:
B = i beta a & 0 & 0 0 & 0 & -1 0 & 0 & -b
B^dag>=r = -i beta a & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & -1 & -b
Podemos ver que B neq B^dag>=r porque um tem um fator i beta e o outro -i beta, além de diferenças na posição dos elementos não diagonais.

Resposta

A representação matricial de B na base |1rang<=, |2rang<=, |3rang<= é:
B = i beta a & 0 & 0 0 & 0 & -1 0 & 0 & -b
Além disso, B não é hermitiano porque B neq B^dag>=r.

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