Determine uma matriz ortogonal
tal que a transformação linear definida por
leve o plano
no plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar uma matriz ortogonal
que, através da transformação linear definida por
, leve o plano
para o plano
.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente transformações lineares e matrizes ortogonais.
O que precisamos: Entender o que é uma matriz ortogonal, como ela transforma planos no espaço e como determinar uma matriz que realiza a transformação desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz
é ortogonal se sua transposta é igual à sua inversa, ou seja,
. Isso significa que
preserva comprimentos e ângulos, ou seja, é uma transformação que mantém a estrutura do espaço, como rotações e reflexões.
Passo 3
Agora, vamos analisar os planos envolvidos:
-
Plano original:
- Vetor normal (perpendicular ao plano):
- Vetor normal (perpendicular ao plano):
-
Plano desejado:
- Vetor normal:
- Vetor normal:
Para que a transformação
mapeie o primeiro plano para o segundo, a matriz
deve transformar o vetor normal
no vetor normal
.
Passo 4
Uma maneira simples de conseguir isso é usando uma reflexão em relação a um plano que bisseta os dois planos dados. No nosso caso, notamos que os vetores normais são simétricos em relação ao eixo
.
Observação: Refletir em relação ao plano
(plano yz) vai trocar o sinal das coordenadas
, mantendo
e
inalterados.
Passo 5
Vamos testar essa reflexão. A matriz de reflexão em relação ao plano
é:
Como funciona:
- Multiplicando qualquer vetor
por , obtemos .
Passo 6
Vamos ver o que acontece com o plano original:
- Equação original:
- Aplicando
, temos - Multiplicando ambos os lados por
(que não altera a solução), obtemos , que é exatamente o plano desejado!
Resposta
A matriz ortogonal que realiza a transformação desejada é: