Determine uma matriz ortogonal A3 times 3 tal que a transformação linear definida por T(v)=A v leve o plano x-y+z=0 no plano x+y-z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar uma matriz ortogonal que, através da transformação linear definida por , leve o plano para o plano .
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente transformações lineares e matrizes ortogonais.
O que precisamos: Entender o que é uma matriz ortogonal, como ela transforma planos no espaço e como determinar uma matriz que realiza a transformação desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz é ortogonal se sua transposta é igual à sua inversa, ou seja, . Isso significa que preserva comprimentos e ângulos, ou seja, é uma transformação que mantém a estrutura do espaço, como rotações e reflexões.

Passo 3

Agora, vamos analisar os planos envolvidos:
  1. Plano original:
    • Vetor normal (perpendicular ao plano):
  2. Plano desejado:
    • Vetor normal:
Para que a transformação mapeie o primeiro plano para o segundo, a matriz deve transformar o vetor normal no vetor normal .

Passo 4

Uma maneira simples de conseguir isso é usando uma reflexão em relação a um plano que bisseta os dois planos dados. No nosso caso, notamos que os vetores normais são simétricos em relação ao eixo .
Observação: Refletir em relação ao plano (plano yz) vai trocar o sinal das coordenadas , mantendo e inalterados.

Passo 5

Vamos testar essa reflexão. A matriz de reflexão em relação ao plano A = -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 é:
Como funciona:
  • Multiplicando qualquer vetor por , obtemos .

Passo 6

Vamos ver o que acontece com o plano original:
  • Equação original:
  • Aplicando , temos
  • Multiplicando ambos os lados por (que não altera a solução), obtemos , que é exatamente o plano desejado!

Resposta

A matriz ortogonal que realiza a transformação desejada é:
A = -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

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