Considere
u(t)=t^2 i-3 t k, v(t)=-4 t^3 j+(t+1) k e w(t)=3 t^2 i+t j-t^3 k
Determine
(u cdot v)^prime

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores que dependem de : , e . A pergunta é para encontrar a derivada em relação a do produto escalar entre e , ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o produto escalar e a regra da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores a cdot b = ax bx + ay by + az bz e , o produto escalar é dado por:
Isso significa que multiplicamos as componentes correspondentes e somamos os resultados.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos vetores u(t) = t^2 i - 3t k v(t) = -4t^3 j + (t + 1) k e . Primeiro, identifiquemos as componentes de cada vetor:
Perceba que não tem componente em e não tem componente em .

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot v = (t^2) cdot 0 + 0 cdot (-4t^3) + (-3t) cdot (t + 1) u cdot v = 0 + 0 + (-3t)(t + 1) u cdot v = -3t(t + 1) . Usando a fórmula:

Passo 5

Simplificando a expressão:
u cdot v = -3t(t + 1) = -3t^2 - 3t

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a derivada dessa expressão em relação a (u cdot v)^prime = ddt (-3t^2 - 3t) (u cdot v)^prime = -3 cdot 2t^1 - 3 cdot 1 (u cdot v)^prime = -6t - 3 . Vamos lembrar que a derivada de é . Aplicando isso:

Resposta

A derivada do produto escalar entre (u cdot v)^prime = -6t - 3 e em relação a é:

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