- Determinar dois vetores unitários, tangentes ao hodógrafo da função dada no pontc indicado.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão pede para determinar dois vetores unitários que são tangentes ao hodógrafo da função dada no ponto indicado. Aqui, estamos trabalhando com vetores e cálculo vetorial, especificamente com conceitos como hodógrafo e vetores tangentes. Para isso, vamos precisar calcular derivadas e entender como encontrar vetores unitários a partir delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o hodógrafo. O hodógrafo de uma função vetorial é a curva formada pelos vetores velocidade, que são as derivadas da função em relação ao tempo
. Então, para encontrar o hodógrafo, precisamos derivar a função
.
Dado:
e o ponto
.
Passo 3
Vamos encontrar o valor de
que nos leva ao ponto
. Igualando cada componente de
a 1:
Então,
é o valor que nos leva ao ponto
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada primeira de
, que representa o vetor velocidade:
No ponto
:
Passo 5
O hodógrafo é a curva formada por
. Para encontrar o vetor tangente ao hodógrafo no ponto
, precisamos calcular a derivada segunda de
:
No ponto
:
Passo 6
Agora, temos o vetor que define a direção do tangente ao hodógrafo:
Para encontrar os vetores unitários nessa direção, normalizamos
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
E o vetor unitário na direção oposta é:
Resposta
Os dois vetores unitários tangentes ao hodógrafo no ponto
são:
Exercícios relacionados
Exercício 5. Use a tabela para encontrar a Transformada Inversa das funções
abaixo:
(d)
(d)
Exercício 5. Use a tabela para encontrar a Transformada Inversa das funções
abaixo:
(a)
(a)
Esboce o gráfico das equações:
Considere
Determine