1. Determinar dois vetores unitários, tangentes ao hodógrafo da função dada no pontc indicado.
    a) f(t) = (e^t, e^(-t), t^2 + 1) ; P(1, 1, 1)
    b) g(t) = (4 + 2 cos(t), 2 + 2 sen(t), 1) ; P(4, 4, 1)
    c) h(t) = (1/2 * t, raiz(t + 1), t + 1) ; P(1, raiz(3), 3)
    d) r(t) = (t cos t, t sen t, t) ; P(0, pi/2, pi/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão pede para determinar dois vetores unitários que são tangentes ao hodógrafo da função dada no ponto indicado. Aqui, estamos trabalhando com vetores e cálculo vetorial, especificamente com conceitos como hodógrafo e vetores tangentes. Para isso, vamos precisar calcular derivadas e entender como encontrar vetores unitários a partir delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o hodógrafo. O hodógrafo de uma função vetorial é a curva formada pelos vetores velocidade, que são as derivadas da função em relação ao tempo . Então, para encontrar o hodógrafo, precisamos derivar a função .
Dado:
e o ponto .

Passo 3

Vamos encontrar o valor de que nos leva ao ponto . Igualando cada componente de a 1:
Então, é o valor que nos leva ao ponto .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada primeira de , que representa o vetor velocidade:
No ponto :

Passo 5

O hodógrafo é a curva formada por . Para encontrar o vetor tangente ao hodógrafo no ponto , precisamos calcular a derivada segunda de :
No ponto :

Passo 6

Agora, temos o vetor que define a direção do tangente ao hodógrafo:
Para encontrar os vetores unitários nessa direção, normalizamos :
Então, o vetor unitário na direção de é:
E o vetor unitário na direção oposta é:

Resposta

Os dois vetores unitários tangentes ao hodógrafo no ponto são:

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